証明

図のように角を設定し，$\angle{\rm BAD}=\alpha$ とおくと，円周角の定理より

$\angle{\rm BOD}=2\alpha$

これより $\angle{\rm BOD}$ の向かい側の大きい角が $360^{\circ}-2\alpha$ なので，円周角の定理より

$\angle{\rm BCD}=180^{\circ}-\alpha$

$\therefore \ \angle{\rm BAD}+\angle{\rm BCD}=180^{\circ}$

※ $\rm O$ が四角形の外部にあったとしてもまったく同じです．

証明

図のように角を設定し，$\angle{\rm BAD}=\alpha$ とおく．$\triangle{\rm ABD}$ の外接円周上の弧 $\rm BD$ の $\rm A$ と反対側に $\rm C'$ をとる．円周角の定理より

$\angle{\rm BC'D}=180^{\circ}-\alpha$

円周角の定理の逆より，$\angle{\rm BCD}=\angle{\rm BC'D}$ から，4点 $\rm B$，$\rm C$，$\rm C'$，$\rm D$ が同一円周上にある．すなわち4点 $\rm A$，$\rm B$，$\rm C$，$\rm D$ が同一円周上にある．