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群数列

タイプ:教科書範囲 レベル:★★★ 


アイキャッチ

数列が群という何かの規則に従ってグルーピングされて並んでいるものを群数列といいます.

群数列はどうしても横長になりがちで,状況が見えにくかったりしますので,当サイトでは縦に表で整理して解くことにします.


目次

1: 例題と練習問題




例題と練習問題

例題

例題

奇数の数列を以下のように,第 $m$ 群に $m$ 個の数を含むように分ける.

  $1 \ | \ 3,5 \ | \ 7,9,11 \ | \ 13,15,\cdots$

(1) 第 $m$ 群の最初の数を求めよ.

(2) 第 $m$ 群にある数の総和を求めよ.

(3) $999$ は第何群の何番目に並ぶ数か.


例題の解答,解説

(1)

以下のように表に,群番号,群,項数,初項からの累計項数を記入します.

群数列の説明1

上のように,項目を設けます.数列を見て,表を埋めていきます.様子を掴むために第 $1$,$2$,$3$ 群,そして第 $m$ 群を書いて一般化します.そのために第 $m-1$ 群も必要です.

累計項数は,その群の最後までの項数なので,項数をすべて足すと求められます.

群数列の説明2

ここでこの数列を $\{a_{n}\}$ とします.奇数列なので $a_{n}=2n-1$ です.各郡の最後は,$n$ に累計項数を代入すれば求められます.

群数列の説明3

第 $m-1$ 群のラストは $a_{\frac{1}{2}(m-1)m}=2\cdot \dfrac{1}{2}(m-1)m-1=m^{2}-m-1$ より

第 $m$ 群の最初の数は $\boldsymbol{m^{2}-m+1}$


(2)

第 $m$ 群のラストは $a_{\frac{1}{2}m(m+1)}=2\cdot \dfrac{1}{2}m(m+1)-1=m^{2}+m-1$ より,第 $m$ 群にある数の総和は,等差数列の和より

$\left\{(m^{2}-m+1)+(m^{2}+m-1)\right\} \cdot m \cdot \dfrac{1}{2}=\boldsymbol{m^{3}}$


(3)

$999$ が第 $m$ 群にあるとします.

群数列の説明4

上の青い箇所を見れば

$m^{2}-m+1 \leqq 999 \leqq m^{2}+m-1$

$\Longleftrightarrow m(m-1)+2 \leqq 1000 \leqq m(m+1)$

これを満たす $m$ は $32$ である( $m$ に適当な自然数を代入して確かめて出します)

第 $32$ 群の最初の数は $32\cdot31+1=993$ より,$999$ は第 $\boldsymbol{32}$ 群の $\boldsymbol{4}$ 番目に並ぶ.


もちろんすでに得意な人は表を書くまでもなく,いつも通り解けばいいと思いますが,この手段は苦手な人が何を調べていけばいいかを明確にするために考えたツールです.



練習問題

練習

数列

$\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4},\dfrac{1}{8},\dfrac{3}{8},\dfrac{5}{8},\dfrac{7}{8},\dfrac{1}{16},\dfrac{3}{16},\cdots$ について

(1) この数列の第 $100$ 項を求めよ.

(2) この数列の初項から第 $100$ 項までの和を求めよ.

練習の解答



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