例題の解答，解説

(1)

以下のように表に，群番号，群，項数，初項からの累計項数を記入します．

上のように，項目を設けます．数列を見て，表を埋めていきます．様子を掴むために第 $1$，$2$，$3$ 群，そして第 $m$ 群を書いて一般化します．そのために第 $m-1$ 群も必要です．

累計項数は，その群の最後までの項数なので，項数をすべて足すと求められます．

ここでこの数列を $\{a_{n}\}$ とします．奇数列なので $a_{n}=2n-1$ です．各群の最後は，$n$ に累計項数を代入すれば求められます．

第 $m-1$ 群のラストは $a_{\frac{1}{2}(m-1)m}=2\cdot \dfrac{1}{2}(m-1)m-1=m^{2}-m-1$ より

第 $m$ 群の最初の数は $\boldsymbol{m^{2}-m+1}$

(2)

第 $m$ 群のラストは $a_{\frac{1}{2}m(m+1)}=2\cdot \dfrac{1}{2}m(m+1)-1=m^{2}+m-1$ より，第 $m$ 群にある数の総和は，等差数列の和より

$\left\{(m^{2}-m+1)+(m^{2}+m-1)\right\} \cdot m \cdot \dfrac{1}{2}=\boldsymbol{m^{3}}$

(3)

$999$ が第 $m$ 群にあるとします．

上の青い箇所を見れば

$m^{2}-m+1 \leqq 999 \leqq m^{2}+m-1$

$\Longleftrightarrow m(m-1)+2 \leqq 1000 \leqq m(m+1)$

これを満たす $m$ は $32$ である( $m$ に適当な自然数を代入して確かめて出します)．

第 $32$ 群の最初の数は $32\cdot31+1=993$ より，$999$ は第 $\boldsymbol{32}$ 群の $\boldsymbol{4}$ 番目に並ぶ．