講義

まず領域を丁寧に書きます．

上のⅡの方法をメインとして説明します．

例題の解答

(1)

$x=k$ のときの格子点の個数を求めます．

算数の植木算の要領で出します．距離(間の数)が $-k+2n$ です．木の本数は $1$ を足しますので，$x=k$ のときの格子点は $-k+2n+1$ 個になります．

これを $0$ から $2n$ まで和をとればOKです．

　(総数)

$\displaystyle =\sum_{k=0}^{2n}(-k+2n+1)$

$\displaystyle =(2n+1)+(2n)+\cdots+2+1 \ \cdots$ ☆

$\displaystyle =\{(2n+1)+1\}(2n+1)\cdot\dfrac{1}{2}$

$=\boldsymbol{(n+1)(2n+1)}$

※直接数えていけば，等差数列とわかり，いきなり☆の式が書けるはずです．それがⅠの方法．

(2)

$x\leqq 3$ と $x\geqq 4$ で場合分けをします．

$x\leqq 3$ のときは，$x=k$ のときの格子点の個数を求めます．$2k+1$ 個になります．

$x\geqq 4$ のときは，今まで通り縦の格子点を求めようとすると，境界線に格子点が来ないので偶奇で場合分けが必要で面倒です．そこで，$y=j$ のときの格子点(横の格子点)を求めて，$j=0$ から $j=8$ まで和をとります．

　(総数)

$\displaystyle =\sum_{k=0}^{3}(2k+1)+\sum_{j=0}^{8}(-2j+17)$

$\displaystyle =1+3+5+7+17+15+\cdots+3+1 \ \cdots$ ☆

$\displaystyle =16+(17+1)\cdot9\cdot\dfrac{1}{2}$

$=\boldsymbol{97}$

※これも $x\leqq 3$ と $x\geqq 4$ で場合分けをして直接数えていけば，等差数列とわかり，いきなり☆の式を書いてもいいですね．

(3)

$x=k$ のときの格子点が $-k^{2}+8k+1$ 個です．

　(総数)

$\displaystyle =\sum_{k=0}^{8}(-k^{2}+8k+1)$

$\displaystyle =1+\sum_{k=1}^{8}(-k^{2}+8k+1)$

$\displaystyle =1-\dfrac{1}{6}\cdot 8 \cdot9 \cdot 17+8\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 8 \cdot 9+8$

$=\boldsymbol{93}$

※Ⅱの方法です．直接足していくと大変です．