極限のパターンまとめ

数学Ⅲ既習者(コンテンツの紹介)

高校数学の極限計算の主なパターンを総整理します．

各ページに飛ぶためのリンクと対応する計算例を挙げていきます．

極限のパターンまとめ

マニアックな細かいテーマまではここでは追求せず，列挙していきます．

教科書範囲(極限)

・無限数列の極限

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\sqrt{n^{2}+5n-3}-\sqrt{n^{2}+1})$

・はさみうちの原理を使う極限

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{\sin n}{n}$

・無限等比数列の極限

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{2(-3)^{n}+7\cdot5^{n+1}}{5\cdot3^{n+1}-2\cdot 5^{n}}$

・無限級数

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)}$

・関数の極限

$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^{2}-5x+6}{x-2}$

・三角関数の極限

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin x}$

教科書範囲(積分)

・区分求積(部分和の項が $n$ 個)

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+4}+\cdots+\dfrac{1}{3n}\right)$

応用

以下は検定教科書で問題の掲載が少ないですが入試では頻出です．

・$e$ の定義を使う極限

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(1+3x\right)^{\frac{2}{x}}$

・微分係数の定義を使う極限

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}\log\{\log(x+e)\}$

・区分求積(部分和の項が $mn$ 個，奇数番目の和等)

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{4n}\right)$