無限数列の極限
極限(教科書範囲) ★★
数学Ⅲの極限の最初のページです．
数列の極限の導入と極限の基本性質を扱います．
数列の極限と基本性質
数列の極限
項が限りなく続く数列を無限数列という．無限数列 $\{a_{n}\}$ で $n$ が限りなく大きくなるとき，$a_{n}$ が一定の値 $\alpha$ に近づくならば， $\{a_{n}\}$ は $\alpha$ に収束するといい，$\alpha$ を極限値という．記号では
$\displaystyle \ \lim_{n \to \infty} a_{n}=\alpha$
または
$n \to \infty$ のとき $a_{n} \to \alpha$
と表すときもある．
また収束しない無限数列を発散するという．発散には正の無限大に発散，負の無限大に発散，振動の3種類がある．
本当は $n$ を限りなく大きくするという表現が数学的に曖昧で，大学では $\epsilon$ - $N$ 論法というもので定義するのですが，高校の範囲ではこれでOKなことになっています．
例
・$\displaystyle \ \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}=0$ (収束)
・$\displaystyle \ \lim_{n \to \infty}(3n-1)=\infty$ (正の無限大に発散)
・$\displaystyle \ \lim_{n \to \infty}(-2^{n})=-\infty$ (負の無限大に発散)
・$\displaystyle \ \lim_{n \to \infty}(-3)^{n}$ (振動)
極限の基本性質
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=\alpha$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n}=\beta$ のとき，次のことが成り立つ．
・$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ka_{n}=k\alpha$ ( $k$ は実数)
・$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_{n}\pm b_{n})=\alpha\pm \beta$ (複号同順)
・$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}b_{n}=\alpha\beta$
・$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}=\dfrac{\alpha}{\beta}$ ($\beta\neq0$)
※ 以上の公式は $\alpha$，$\beta$ が有限確定値に収束した場合で，$\boldsymbol{\infty}$ のときには使えません．
例題と練習問題
例題
例題
次の極限を求めよ．
(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{2n+11}{n^{2}+2n+4}$
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{(n+3)(4n+1)}{n^{2}-5n+1}$
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\sqrt{n^{2}+5n-3}-\sqrt{n^{2}+1})$
講義
一見，(1)，(2)は $\dfrac{\infty}{\infty}$，(3)は $\infty-\infty$ です．これらは便宜的に不定形の極限と呼ばれていることが多いですが，不定形は約分や有理化などを施して不定形を解消させて解きます．
解答
(1)
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{2n+11}{n^{2}+2n+4}$ ← $\dfrac{\infty}{\infty}$ で不定形
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{2+\dfrac{11}{n}}{n+2+\dfrac{4}{n}}$
$=\boldsymbol{0}$
(2)
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{(n+3)(4n+1)}{n^{2}-5n+1}$ ← $\dfrac{\infty}{\infty}$ で不定形
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{\left(1+\dfrac{3}{n}\right)\left(4+\dfrac{1}{n}\right)}{1-\dfrac{5}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}}$
$=\boldsymbol{4}$
(3)
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\sqrt{n^{2}+5n-3}-\sqrt{n^{2}+1})$ ← $\infty-\infty$ で不定形
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}(\sqrt{n^{2}+5n-3}-\sqrt{n^{2}+1})\cdot \color{red}{\dfrac{\sqrt{n^{2}+5n-3}+\sqrt{n^{2}+1}}{\sqrt{n^{2}+5n-3}+\sqrt{n^{2}+1}}}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{(n^{2}+5n-3)-(n^{2}+1)}{\sqrt{n^{2}+5n-3}+\sqrt{n^{2}+1}}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{5n-4}{\sqrt{n^{2}+5n-3}+\sqrt{n^{2}+1}}$ ← $\dfrac{\infty}{\infty}$ で不定形
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{5-\dfrac{4}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{5}{n}-\dfrac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}}$
$=\dfrac{5}{1+1}=\boldsymbol{\dfrac{5}{2}}$
※ $\sqrt{ }$ が2つ以上出てきて不定形なら有理化で解ける可能性が高いです．
練習問題
練習
次の極限を求めよ．
(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(2n^{2}-n^{3})$
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{(2n-3)(3n+1)}{5n^{2}+n-11}$
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{5}{\sqrt{n^{2}+3n}-\sqrt{n^{2}+1}}$
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots+n\cdot(n+1)}{(n+1)^{2}+(n+2)^{2}+(n+3)^{2}+\cdots+(2n)^{2}}$
(5) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left\{\log_{2}\{1\cdot n+2\cdot(n-1)+3\cdot(n-2)+\cdots+n\cdot1\}-\log_{2}n^{3}\right\}$
練習の解答
(1)
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(2n^{2}-n^{3})$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}n^{3}\left(\dfrac{2}{n}-1\right)$
$=\boldsymbol{-\infty}$
(2)
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{(2n-3)(3n+1)}{5n^{2}+n-11}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{\left(2-\dfrac{3}{n}\right)\left(3+\dfrac{1}{n}\right)}{5+\dfrac{1}{n}-\dfrac{11}{n^{2}}}$
$=\boldsymbol{\dfrac{6}{5}}$
(3)
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{5}{\sqrt{n^{2}+3n}-\sqrt{n^{2}+1}}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{5}{\sqrt{n^{2}+3n}-\sqrt{n^{2}+1}}\cdot \color{red}{\dfrac{\sqrt{n^{2}+3n}+\sqrt{n^{2}+1}}{\sqrt{n^{2}+3n}+\sqrt{n^{2}+1}}}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{5(\sqrt{n^{2}+3n}+\sqrt{n^{2}+1})}{3n-1}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{5\left(\sqrt{1+\dfrac{3}{n}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}\right)}{3-\dfrac{1}{n}}$
$=\boldsymbol{\dfrac{10}{3}}$
(4)
(分子)
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k(k+1)$
$\displaystyle =\dfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)$
(分母)
$\displaystyle =\sum_{k=n+1}^{2n}k^{2}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{2n}k^{2}-\sum_{k=1}^{n}k^{2}$
$=\dfrac{1}{6}\cdot 2n(2n+1)(4n+1)-\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
$=\dfrac{1}{6}n(2n+1)(8n+2-n-1)$
$=\dfrac{1}{6}n(2n+1)(7n+1)$
以上より
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots+n\cdot(n+1)}{(n+1)^{2}+(n+2)^{2}+(n+3)^{2}+\cdots+(2n)^{2}}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{\dfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)}{\dfrac{1}{6}n(2n+1)(7n+1)}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{2\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}{\left(2+\dfrac{1}{n}\right)\left(7+\dfrac{1}{n}\right)}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{7}}$
※ 分子は割愛しましたが普通にシグマ計算です．意欲的な人は連続自然数積の和へ．
※ 分母は $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(n+k)^{2}$ でもいいですね．
(5)
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left\{\log_{2}\{1\cdot n+2\cdot(n-1)+3\cdot(n-2)+\cdots+n\cdot1\}-\log_{2}n^{3}\right\}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\log_{2}\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(n+1-k)}{n^{3}}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\log_{2}\dfrac{\displaystyle (n+1)\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n}k^{2}}{n^{3}}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\log_{2}\dfrac{\displaystyle \dfrac{1}{2}n(n+1)^{2}-\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}{n^{3}}$
$=\log_{2}\dfrac{1}{6}$
$=-\log_{2}(2\cdot 3)$
$=\boldsymbol{-\log_{2}3-1}$