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$e$ の定義

微分(数学Ⅲ)(入試の標準) ★★


アイキャッチ

$e$ の定義は指数・対数関数の微分で,対数関数の微分をするときに登場しました.

このページは $e$ の定義の関連事項を扱います.



$e$ の定義と $e$ がなぜ存在するか

ポイント

$e$ の定義

ここでは数列の極限値として $e$ を

$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{n\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e}$

と定義する.$e$ の値は無理数で,$e=2.718281828459045 \cdots$ (鮒一鉢二鉢一鉢二鉢至極美味しい)となることが知られている.


$e$ の定義は他にも表現がありますが,上の定義を出発点として話を厳密に展開します.

ちなみに $e$ の近似値(語呂合わせ)も暗記推奨です.

$e$ がなぜ存在するか.

なぜ上の極限が有限の値に収束するかは,若干レベルが高いので,下に格納しました.

$e$ がなぜ存在するか

$e$ がなぜ( $3$ より小さい値に)存在するか

$e$ がなぜ( $3$ より小さい値に)存在するかに関しては,数列 $a_{n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$ が

 ① 増加数列である( $a_{n} < a_{n+1}$ )

 ② $a_{n} < 3$

を示せばOKです(上に有界な単調増加数列は収束するという定理が必要なので大学範囲です).


①の証明

 $\displaystyle a_{n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$

$\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}$$_{n}{\rm C}_{k}\cdot 1^{n-k}\cdot \left(\dfrac{1}{n}\right)^{k}$ ←二項定理

$\displaystyle =1+\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots \{n-(k-1)\}}{k!}\left(\dfrac{1}{n}\right)^{k}$

$\displaystyle =1+\sum_{k=1}^{n}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{k-1}{n}\right)\dfrac{1}{k!}$

$\displaystyle < 1+\sum_{k=1}^{n}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)\left(1-\dfrac{2}{n+1}\right)\cdots\left(1-\dfrac{k-1}{n+1}\right)\dfrac{1}{k!}$

$\displaystyle < 1+\sum_{k=1}^{n+1}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)\left(1-\dfrac{2}{n+1}\right)\cdots\left(1-\dfrac{k-1}{n+1}\right)\dfrac{1}{k!}$

$\displaystyle =a_{n+1}$


②の証明

 $\displaystyle a_{n}$

$\displaystyle =1+\sum_{k=1}^{n}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{k-1}{n}\right)\dfrac{1}{k!}$

$\displaystyle =1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{n}\right)}{2!}+\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)}{3!}+\cdots+\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{n-1}{n}\right)}{n!}$

$\displaystyle < 2+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots+\dfrac{1}{n!}$

$\displaystyle < 2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}}$

$\displaystyle = 2+\dfrac{\dfrac{1}{2}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1-\dfrac{1}{2}}$

$\displaystyle < 2+\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}$

$\displaystyle = 3$


①,②より,数列 $a_{n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$ は $3$ より小さい極限値を持ち,それを $e$ と定義します.

ポイント

関数の極限としての $e$

関数の極限値として

$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{x\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=e}$

$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{x\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=e}$

が成り立つ.

$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{x\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=e}$ の証明

自然数 $n$ に対して

$n\leqq x<n+1$

を満たす実数 $x$ が存在する.このとき

$\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n}<\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}<\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}$

が成り立つ.ここで

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty}\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{1+\dfrac{1}{n+1}}=\dfrac{e}{1}=e$

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}=\lim_{n\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=e\cdot 1=e$

より,$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=e$.


$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{x\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=e}$ の証明

$x=-t$ とおくと

 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}$

$\displaystyle \lim_{t\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{-t}\right)^{-t}$

$\displaystyle \lim_{t\to \infty}\left(\dfrac{t-1}{t}\right)^{-t}$

$\displaystyle \lim_{t\to \infty}\left(\dfrac{t}{t-1}\right)^{t}$

$\displaystyle \lim_{t\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{t-1}\right)^{t}$

$\displaystyle \lim_{t\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{t-1}\right)^{t-1}\left(1+\dfrac{1}{t-1}\right)$

$=e\cdot1=e$


また,指数・対数関数の微分で登場した式も次のように導けます.

ポイント

他の表現の $e$

$e$ の定義から

$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{t\to 0}\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}=e}$

$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{h\to 0}\dfrac{e^{h}-1}{h}=1}$

が成り立つ.教科書や参考書,サイトによってはこれを $e$ の定義とすることもある.


$\displaystyle \lim_{t\to 0}\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}=e$ の証明

 $\displaystyle \lim_{t\to +0}\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}$

$\displaystyle =\lim_{x\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}$ ← $t=\dfrac{1}{x}$

$\displaystyle =e$

また

 $\displaystyle \lim_{t\to -0}\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}$

$\displaystyle =\lim_{x\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}$ ← $t=\dfrac{1}{x}$

$\displaystyle =e$

以上より

$\displaystyle \lim_{t\to 0}\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}=e$


$\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{e^{h}-1}{h}=1$ の証明

 $\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{e^{h}-1}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{t}{\log_{e}(1+t)}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{\log_{e}(1+t)^{\frac{1}{t}}}$

$=\dfrac{1}{\log_{e}e}=1$


次では,$e$ の定義を利用した極限の問題を扱います.


例題と練習問題

例題

例題

次の極限値を求めよ.

(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(1+3x\right)^{\frac{2}{x}}$

(2) $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\dfrac{2n-1}{2n}\right)^{5n}$


講義

$\displaystyle \lim_{\color{red}{□}\to 0}\left(1+\color{red}{□}\right)^{\frac{1}{\color{red}{□}}}=e$

上の形が使えるよう強引に変形します.


解答

(1)

 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(1+3x\right)^{\frac{2}{x}}$

$=\displaystyle \lim_{t\to 0}\left(1+t\right)^{\frac{6}{t}}$ ← $t=3x$

$=\displaystyle \lim_{t\to 0}\left\{\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}\right\}^{6}$

$=\boldsymbol{e^{6}}$


(2)

 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\dfrac{2n-1}{2n}\right)^{5n}$

$=\displaystyle \lim_{t\to -0}\left(1+t\right)^{-\frac{5}{2t}}$ ← $t=-\dfrac{1}{2n}$

$=\displaystyle \lim_{t\to -0}\left\{\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}\right\}^{-\frac{5}{2}}$

$=\boldsymbol{e^{-\frac{5}{2}}}$

練習問題

練習

次の極限値を求めよ.

(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(1+5x\right)^{-\frac{1}{x}}$

(2) $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{x^{2}+2x-3}{x^{2}}\right)^{2x+1}$

練習の解答

(1)

 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(1+5x\right)^{-\frac{1}{x}}$

$=\displaystyle \lim_{t\to 0}\left(1+t\right)^{\frac{-5}{t}}$ ← $t=5x$

$=\displaystyle \lim_{t\to 0}\left\{\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}\right\}^{-5}$

$=\boldsymbol{e^{-5}}$


(2)

 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{x^{2}+2x-3}{x^{2}}\right)^{2x+1}$

$=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{x+3}{x}\cdot\dfrac{x-1}{x}\right)^{2x+1}$

$=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{x+3}{x}\right)^{2x}\left(\dfrac{x-1}{x}\right)^{2x}\left(\dfrac{x+3}{x}\right)\left(\dfrac{x-1}{x}\right)$

$=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left\{\left(1+\dfrac{3}{x}\right)^{\frac{1}{\frac{3}{x}}}\right\}^{6}\left\{\left(1+\dfrac{-1}{x}\right)^{\frac{1}{\frac{-1}{x}}}\right\}^{-2}\left(1+\dfrac{3}{x}\right)\left(1+\dfrac{-1}{x}\right)$

$=e^{6}\cdot e^{-2}\cdot 1\cdot1$

$=\boldsymbol{e^{4}}$