証明

$n$ を自然数として

$\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}e^{1-x}\,dx=\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,dx$

とおく．さらに $f_{n}(x)=x^{n}e^{1-x} \ (0\leqq x\leqq 1)$ とおく．

　$\dfrac{d}{dx}f_{n}(x)$

$=nx^{n-1}e^{1-x}-x^{n}e^{1-x}$

$=x^{n-1}e^{1-x}(n-x)\geqq 0$　$(0\leqq x\leqq 1)$

$f_{n}(x)$ は $0\leqq x\leqq 1$ で単調増加より，$0\leqq f_{n}(x)\leqq 1$．これを $0\leqq x\leqq 1$ で積分すると

$0< I_{n}<1$

が成り立つ．

また

　$\displaystyle I_{n+1}$

$\displaystyle =\int_{0}^{1}x^{n+1}e^{1-x}\,dx$

$\displaystyle =\left[x^{n+1}(-e^{1-x})\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}(n+1)x^{n}(-e^{1-x})\,dx$

$=-1+(n+1)I_{n}$

両辺 $(n+1)!$ で割ると

$\displaystyle \dfrac{I_{n+1}}{(n+1)!}=\dfrac{I_{n}}{n!}-\dfrac{1}{(n+1)!}$

$n\geqq2$ のとき

　$\displaystyle \dfrac{I_{n}}{n!}=\dfrac{I_{1}}{1!}+\sum_{k=1}^{n-1}\left\{-\dfrac{1}{(k+1)!}\right\}$

　　$\displaystyle =\int_{0}^{1}xe^{1-x}\,dx-\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{(k+1)!}$

　　$\displaystyle =\Bigl[-xe^{1-x}\Bigr]_{0}^{1}+\int_{0}^{1}e^{1-x}\,dx-\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{(k+1)!}$

　　$\displaystyle =e-2-\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{(k+1)!}$

　　$\displaystyle =e-\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}$

となるが，これは $n=1$ でも成り立つ．

$\displaystyle \therefore \ I_{n}=n!e-n!\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}$

$0< I_{n}<1$ より

$\displaystyle 0< n!e-\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!}<1$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \ \sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!}< n!e<\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!}+1$

ここで，$k=0,1,2,\cdots,n$ に関して $\dfrac{n!}{k!}$ は整数なので $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!}$ も整数．上の不等式から，任意の自然数 $n$ に関して $n!e$ は整数とならない．

ここで $e$ が有理数であるとすると $e=\dfrac{q}{p}$ ( $p$，$q$ は互いに素な自然数)とおけるので，$n\geqq p$ の $n$ に関して $n!e$ は整数となるので矛盾する．

ゆえに $e$ は無理数である．

証明

$e^{x}$ を有限マクローリン展開すると

$e^{x}=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^{n}}{n!}+\dfrac{e^{\theta x}x^{n+1}}{(n+1)!}$　 $(0< \theta <1)$

ここで $x=1$ を代入すると

$e=1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3!}+\cdots+\dfrac{1}{n!}+\dfrac{e^{\theta}}{(n+1)!}$　 $(0< \theta <1)$

両辺に $n!$ をかけると

$n!e=n!\left(1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3!}+\cdots+\dfrac{1}{n!}\right)+\dfrac{e^{\theta}}{n+1}$　 $(0< \theta <1)$

となる．$e$ が有理数であるとすると $e=\dfrac{q}{p}$ ( $p$，$q$ は互いに素な自然数)と表せる．ここで，$n!\left(1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3!}+\cdots+\dfrac{1}{n!}\right)$ は自然数であるし，$n!e$ は，$n\geqq p$ とすると自然数である．そして，指数．対数関数の微分にあるように，$e<3$ であるので，$0< \theta <1$ より $\dfrac{e^{\theta}}{n+1}$ は $n\geqq3$ でとると整数とならない．つまり $n\geqq \max\{p,3\}$ でとると不合理なので，$e$ が有理数と仮定したことが誤り．つまり $e$ は無理数である．