$e$ が無理数であることの証明
タイプ：難関大対策 $+\alpha$ レベル：★★★★
$e$ が無理数であることの証明を，高校範囲と大学範囲でそれぞれ紹介します．大学範囲はたくさん情報がありますが，高校範囲は情報が少ないです．
$e$ の定義に関しては，指数．対数関数の微分を参照ください．
$e$ が無理数であることの証明(高校範囲)
基本的に，大学範囲であるマクローリン展開を使わない手法を取りたいので，少し設定が厄介ですが，丁寧に書きました．
証明の流れ
証明の流れ
$\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}e^{-x}\,dx$ とおく．
↓
$0< I_{n}\leqq 1-e^{-1}$ を示す．
↓
$I_{n+1}=-e^{-1}+(n+1)I_{n}$ を示す．
↓
$I_{n}=a_{n}e^{-1}+b_{n}$ $(a_{n},b_{n} \in \mathbb{Z})$ と表されることを示す．
↓
$0< I_{n}\leqq \dfrac{1}{n+1}$ を示す．
↓
$e=\dfrac{q}{p}$ ( $p$，$q$ は互いに素な自然数)と仮定し，$0< pa_{n}+qb_{n}\leqq \dfrac{q}{n+1}$ を示し $n$ を大きくすると矛盾することを示す．
証明
証明
$n$ を $0$ 以上の整数として
$\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}e^{-x}\,dx$
とおく．$0\leqq x\leqq 1$ では
$0\leqq x^{n}e^{-x}\leqq e^{-x}$
より，$0\leqq x\leqq 1$ で積分すると
$\displaystyle 0< I_{n} \leqq \int_{0}^{1}e^{-x}\,dx=1-e^{-1}$ $\cdots$ ①．
部分積分をすると
$\displaystyle I_{n+1}$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}x^{n+1}e^{-x}\,dx$
$\displaystyle =\left[x^{n+1}(-e^{-x})\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}(n+1)x^{n}(-e^{-x})\,dx$
$=-e^{-1}+(n+1)I_{n}$
これを変形して①を適用すると
$\displaystyle I_{n}=\dfrac{I_{n+1}+e^{-1}}{n+1}\leqq \dfrac{1-e^{-1}+e^{-1}}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}$
つまり
$\displaystyle 0< I_{n}\leqq \dfrac{1}{n+1}$ $\cdots$ ②
が言える．
次に，$I_{n}=a_{n}e^{-1}+b_{n}$ $(a_{n},b_{n} \in \mathbb{Z})$ と表されることを数学的帰納法で示す．
(ⅰ) $n=0$ のとき
$I_{0}=1-e^{-1}$
より，$a_{0}=-1\in \mathbb{Z}$，$b_{0}=1\in \mathbb{Z}$．
(ⅱ) $n=k$ のとき，すなわち $I_{k}=a_{k}e^{-1}+b_{k}$ $(a_{k},b_{k} \in \mathbb{Z})$ と仮定する．
$n=k+1$ のとき
$\displaystyle I_{k+1}$
$=-e^{-1}+(k+1)I_{k}$
$=-e^{-1}+(k+1)(a_{k}e^{-1}+b_{k})$
$=(ka_{k}+a_{k}-1)e^{-1}+(k+1)b_{k}$
より $ka_{k}+a_{k}-1\in \mathbb{Z}$，$(k+1)b_{k}\in \mathbb{Z}$．
(ⅰ)(ⅱ)より $I_{n}=a_{n}e^{-1}+b_{n}$ $(a_{n},b_{n} \in \mathbb{Z})$ $\cdots$ ③と表せる．
最後に，$e$ が有理数と仮定すると，互いに素な自然数 $p$，$q$ を用いて
$e=\dfrac{q}{p}$
と表せる．②，③より
$\displaystyle 0< a_{n}\cdot \dfrac{p}{q}+b_{n}\leqq \dfrac{1}{n+1}$
$\Longleftrightarrow \ \displaystyle 0< pa_{n}+qb_{n}\leqq \dfrac{q}{n+1}$
ここで，$n \geqq q-1$ では，$pa_{n}+qb_{n}$ が整数とならず不合理．つまり $e$ が有理数と仮定したことが誤りなので，$e$ は無理数である．
$e$ が無理数であることの証明(大学範囲)
$e^{x}$ を有限マクローリン展開することから始めます．
証明
証明
$e^{x}$ を有限マクローリン展開すると
$e^{x}=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^{n}}{n!}+\dfrac{e^{\theta x}x^{n+1}}{(n+1)!}$ $(0< \theta <1)$
ここで $x=1$ を代入すると
$e=1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3!}+\cdots+\dfrac{1}{n!}+\dfrac{e^{\theta}}{(n+1)!}$ $(0< \theta <1)$
両辺に $n!$ をかけると
$n!e=n!\left(1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3!}+\cdots+\dfrac{1}{n!}\right)+\dfrac{e^{\theta}}{n+1}$ $(0< \theta <1)$
となる．$e$ が有理数であるとすると $e=\dfrac{q}{p}$ ( $p$，$q$ は互いに素な自然数)と表せる．ここで，$n!\left(1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3!}+\cdots+\dfrac{1}{n!}\right)$ は自然数であるし，$n!e$ は，$n\geqq p$ とすると自然数である．そして，指数．対数関数の微分にあるように，$e<3$ であるので，$0< \theta <1$ より $\dfrac{e^{\theta}}{n+1}$ は $n\geqq3$ でとると整数とならない．つまり $n\geqq \max\{p,3\}$ でとると不合理なので，$e$ が有理数と仮定したことが誤り．つまり $e$ は無理数である．