指数，対数関数の微分
微分(数学Ⅲ)(教科書範囲) ★★
対数関数から微分を考え，それに伴い登場する $e$ の定義を紹介します．
指数・対数関数の微分公式
指数，対数関数の微分
$a > 0，a\neq 1$ のとき
(ⅰ) $\displaystyle \boldsymbol{(a^{x})'=a^{x}\log a}$
↓ 特に $a=e$
(ⅱ) $\displaystyle \boldsymbol{(e^{x})'=e^{x}}$
(ⅲ) $\displaystyle \boldsymbol{(\log_{a} x)'=\dfrac{1}{x\log a}}$
$\displaystyle \boldsymbol{(\log_{a}|x|)'=\dfrac{1}{x\log a}}$
↓ 特に $a=e$
(ⅳ) $\displaystyle \boldsymbol{(\log x)'=\dfrac{1}{x}}$
$\displaystyle \boldsymbol{(\log_{}|x|)'=\dfrac{1}{x}}$
対数関数の微分公式から考えることでストーリーがわかりやすいと思っています．次の章で(ⅲ)の証明をします．
対数関数の微分と $e$ の定義登場
(ⅲ)の証明，つまり $f(x)=\log_{a} x$ の微分を導関数の定義を使って考えます．
$f(x)=\log_{a} x$ とおくと
$f'(x)$
$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ←導関数の定義
$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}x}{h}$
$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\log_{a}\dfrac{x+h}{x}$
$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\log_{a}\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}$
↓ $\displaystyle \dfrac{h}{x}=t$
$\displaystyle =\lim_{t\to 0}\log_{a}(1+t)^{\frac{1}{t x}}$
$\displaystyle =\lim_{t\to 0}\log_{a}\left\{(1+t)^{\frac{1}{t}}\right\}^{\frac{1}{x}} \ \cdots$ ☆
果たして上の極限 $\displaystyle \lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}$ はどうなるでしょうか．$1$ でしょうか $\infty$ でしょうか．それとも他の値でしょうか．
これに関しては， $\boldsymbol{1}$ でも $\boldsymbol{\infty}$ でもない，およそ $\boldsymbol{2.71828\cdots}$ 程度の値に収束することがわかっていて，この極限値を $\boldsymbol{e}$ と定義します．
$e$ の定義
Ⅰ $\displaystyle \boldsymbol{\lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e}$
また，他の表現として
Ⅱ $\displaystyle \boldsymbol{\lim_{n\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e}$
Ⅲ $\displaystyle \boldsymbol{\lim_{h\to 0}\dfrac{e^{h}-1}{h}=1}$
を $e$ の定義としているものもある．
高校の検定教科書ではⅠで定義していますが，どれが $e$ の定義でも間違えではありません．大学も含めたより一般的にはⅡで定義され，ⅡからⅠ，Ⅲを導くことが多いです．
$e$ の定義を使った問題や，$e$ がなぜ存在するか等の内容は $e$ の定義で深く扱います．
改めて(ⅲ)の証明
(ⅲ)の証明
$f(x)=\log_{a} x$ とおくと
$f'(x)$
$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ←導関数の定義
$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}x}{h}$
$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\log_{a}\dfrac{x+h}{x}$
$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\log_{a}\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}$
↓ $\displaystyle \dfrac{h}{x}=t$
$\displaystyle =\lim_{t\to 0}\log_{a}(1+t)^{\frac{1}{t x}}$
$\displaystyle =\lim_{t\to 0}\log_{a}\left\{(1+t)^{\frac{1}{t}}\right\}^{\frac{1}{x}}$
$\displaystyle =\log_{a}{\color{red}{e}}^{\frac{1}{x}}$
$\displaystyle =\dfrac{\log_{a}e}{x}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{x\log_{e}a}$ ←底の変換
$\displaystyle =\dfrac{1}{x\log a} \ \cdots $ ♪
底が $e$ のときは♪のようにしばしば底を省略します．
$(\log_{a}|x|)'=\dfrac{1}{x\log a}$ の証明
下に格納しました．
$(\log_{a}|x|)'=\dfrac{1}{x\log a}$ の証明
$x>0$ のとき
$(\log_{a}|x|)'=(\log_{a}x)'=\dfrac{1}{x\log a}$
$x<0$ のとき 合成関数の微分より
$(\log_{a}|x|)'=\{\log_{a}(-x)\}'=\dfrac{(-x)'}{(-x)\log a}=\dfrac{1}{x\log a}$
指数関数の微分の証明は練習問題で扱います．
例題と練習問題
例題
例題
次の関数を微分せよ．
(1) $y=\log_{}(x^{2}+4)$
(2) $y=\log_{2}|3x|$
(3) $y=3^{x^{2}}$
(4) $y=e^{-2x}$
講義
上の公式を使いますが，積の微分と商の微分，合成関数の微分も使います．
解答
(1)
$\boldsymbol{y'}=\dfrac{1}{x^{2}+4}(x^{2}+4)'\boldsymbol{=\dfrac{2x}{x^{2}+4}}$
(2)
$\boldsymbol{y'}=\dfrac{1}{3x\log 2}(3x)'\boldsymbol{=\dfrac{1}{x\log 2}}$
(3)
$\boldsymbol{y'}=3^{x^{2}}\log 3 \cdot(x^{2})'\boldsymbol{=2(\log 3)x \cdot 3^{x^{2}}}$
(4)
$\boldsymbol{y'}=e^{-2x}(-2x)'\boldsymbol{=-2e^{-2x}}$
練習問題
練習1
導関数の定義を用いて，$f(x)=a^{x}$ を微分せよ．
練習2
次の関数を微分せよ．
(1) $y=5^{x^{2}+x}$
(2) $y=(\log_{}x)^{2}$
(3) $y=e^{x}\sin x$
(4) $y=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$
練習1の解答
$f'(x)$
$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{a^{x+h}-a^{x}}{h}$
$\displaystyle =\lim_{h\to 0}a^{x}\dfrac{a^{h}-1}{h}$
↓ $a^{h}-1=t \ \Longleftrightarrow h=\log_{a}(1+t)$
$\displaystyle =\lim_{t\to 0}a^{x}\dfrac{t}{\log_{a}(1+t)}$
$\displaystyle =\lim_{t\to 0}a^{x}\dfrac{1}{\frac{1}{t}\log_{a}(1+t)}$
$\displaystyle =\lim_{t\to 0}a^{x}\dfrac{1}{\log_{a}(1+t)^{\frac{1}{t}}}$
$\displaystyle =\dfrac{a^x}{\log_{a}e}$
$\displaystyle =a^{x}\log a$
練習2の解答
(1)
$\boldsymbol{y'=(2x+1)5^{x^{2}+x}\log 5}$
(2)
$\boldsymbol{y'=\dfrac{2\log x}{x}}$
(3)
$\boldsymbol{y'}=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x\boldsymbol{=e^{x}(\sin x+\cos x)}$
(4)
$\boldsymbol{y'}=\dfrac{(e^{x}+e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2}}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}\boldsymbol{=\dfrac{4}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}}$
※ $y=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{x}}$ は双曲線関数と呼ばれているものの1つです．