無限級数
極限(教科書範囲) ★★★
無限級数について，計算から重要な性質まですべて扱います．
無限級数と無限等比級数の求め方
ポイント
無限級数の定義と求め方
無限数列 $\{a_{n}\}$ において，
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+\cdots$
で得られる式を無限級数という．
上の無限級数において，初項から第 $n$ 項までの和
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$
を(第 $n$ )部分和という．
無限級数は以下のように
$\displaystyle \boldsymbol{\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_{k}}$
部分和の極限で求める．
無限級数とは，数列の無限個の和です．しかし実際に無限個を足すことはできないので，部分和の極限で求めます．
続いて，無限数列が等比数列である特殊ケースを考えます．
ポイント
無限等比級数
無限数列 $\{a_{n}\}$ が無限等比数列から作られる無限級数を無限等比級数という．
数列 $\{ar^{n-1}\}$ $(r\neq 1)$ から作られる無限等比級数
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=a+ar+ar^{2}+\cdots+ar^{n-1}+\cdots$
の極限は，等比数列の和の極限を考えればいいので
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\lim_{n \to \infty}\dfrac{a-ar^{n}}{1-r}$
より
$a\neq 0$ かつ $|r|<1$ のとき $\boldsymbol{\dfrac{a}{1-r}} \ \left(\dfrac{初項}{1-公比}\right)$
$a\neq 0$ かつ $|r|\geqq 1$ のとき 発散
$a=0$ のとき $\boldsymbol{0}$
以上より，無限等比級数の収束条件は
$\boldsymbol{a=0}$ または $\boldsymbol{|r|<1}$
ちなみに $r=1$ ならばそれは定数列になり，同じ値を無限個足すので，当然 $\infty$ に発散します．
項の極限と無限級数の収束・発散
ポイント
項の極限と無限級数の収束・発散
数列 $\{a_{n}\}$ に関し，以下の命題が真である．
$\displaystyle \boldsymbol{\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}$ が収束する$\boldsymbol{\Longrightarrow} \displaystyle \boldsymbol{\lim_{n \to \infty}a_{n}=0}$
これの対偶
$\boldsymbol{\{a_{n}\}}$ が $\boldsymbol{0}$ に収束しない $\boldsymbol{\Longrightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}$ は発散する
も当然真である．
また，最初の命題の逆である
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=0$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ が収束する
は偽である(反例は $a_{n}=\dfrac{1}{n}$，$a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ など)ので注意．
無限級数が収束するためには，そもそも $a_{n}$ が収束することが必要という，わかりやすい定理です．下のボタン内部に，一番最初の命題の証明を格納します．
上の最初の命題の証明
無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ が収束する $\Longrightarrow$ $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=0$ の証明
無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ が収束するならば，$\displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ とおくと
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}\right)$
$=S-S=0$
例題と練習問題
例題
例題
次の無限級数の収束，発散を調べ，収束するものはその和を求めよ．
(1) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
(2) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{3^{n-1}}-\dfrac{1}{4^{n}}\right)$
(3) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2n+1}$
(4) $1-1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+\cdots$
講義
(1)は部分分数分解による和で部分和を出します．(2)は無限等比級数．部分和の極限をとるという手続きを省いて公式を使うと楽です．(3)は項が $0$ に収束しません．
(4)は，部分和を求めようにも奇数列と偶数列が違うので，$S_{2m-1}$ と $S_{2m}$ を別で計算し
$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_{2m-1}=\lim_{m \to \infty}S_{2m}=S$ のとき $\{S_{n}\}$ は $S$ に収束
$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_{2m-1}\neq \lim_{m \to \infty}S_{2m}$ のとき $\{S_{n}\}$ は発散
に従います．
解答
(1)
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k+1}-\dfrac{1}{2k+3}\right)$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{2k+1}-\dfrac{1}{2k+3}\right)$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{2}\left\{\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)+\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+3}\right)\right\}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2n+3}\right)$ ←部分和の極限をとる
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}}$
(2)
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{3^{n-1}}-\dfrac{1}{4^{n}}\right)$
$=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}}-\dfrac{\dfrac{1}{4}}{1-\dfrac{1}{4}}$ ←$\dfrac{初項}{1-公比}$
$\displaystyle =\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{3}=\boldsymbol{\dfrac{7}{6}}$
(3)
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac{1}{2}\neq 0$
より $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2n+1}$ は発散．
(4) 第 $n$ 部分和を $S_{n}$ とおくと，$m$ を自然数として
$S_{2m-1}=1-1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{m}=\dfrac{1}{m}$
$S_{2m}=1-1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{m}=0$
$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_{2m-1}=\lim_{m \to \infty}S_{2m}=0$ より収束．$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_{n}=\boldsymbol{0}$
練習問題
練習1
次の無限級数の収束，発散を調べ，収束するものはその和を求めよ．
(1) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+2)(n+3)}$
(2) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n}}\cos\dfrac{n\pi}{2}$
(3) $3-2+2-\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3}+\cdots-\dfrac{n+3}{n+1}+\dfrac{n+3}{n+1}-\dfrac{n+4}{n+2}+\cdots$
練習2
次の無限等比級数が収束するような実数 $x$ の値の範囲とそのときの和を求めよ．
$x+x(x-2)+x(x-2)^{2}+\cdots$
練習3
辺の長さが $1$ の正三角形 $\rm{ABC}$ に対して，円 $S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，$\cdots$ を次のように定める．
(A) $\triangle \rm{ABC}$ に内接する円を $S_{1}$ とする．
(B) 線分 $\rm{AB}$，線分 $\rm{AC}$ と円 $S_{1}$ に接する円を $S_{2}$ とする．
(C) 線分 $\rm{AB}$，線分 $\rm{AC}$ と円 $S_{2}$ に接する円で $S_{1}$ 以外のものを $S_{3}$ とする．
(D) 線分 $\rm{AB}$，線分 $\rm{AC}$ と円 $S_{3}$ に接する円で $S_{2}$ 以外のものを $S_{4}$ とする．
(E) 以下同様に円 $S_{5}$，$S_{6}$，$\cdots$ を定める．
円 $S_{n}$ $(n=1,2,3,\cdots)$ の面積を $m_{n}$ とするとき，級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}m_{n}$ の和を求めよ．
練習1の解答
(1) (変形等はシグマ計算(部分分数分解編)をご参照ください．)
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+2)(n+3)}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{3}\left\{\dfrac{1}{k(k+2)}-\dfrac{1}{(k+2)(k+3)}\right\}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\left\{\dfrac{1}{k(k+2)}-\dfrac{1}{(k+2)(k+3)}\right\}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\left\{\left(\dfrac{1}{2k}-\dfrac{1}{2k+4}\right)-\left(\dfrac{1}{k+2}-\dfrac{1}{k+3}\right)\right\}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{3}\left\{\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2n+2}-\dfrac{1}{2n+4}\right)-\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{n+3}\right)\right\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{5}{36}}$
(2)
$\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k}}\cos\dfrac{k\pi}{2}$ とおく
$\displaystyle S_{n}=0-\dfrac{1}{4}+0+\dfrac{1}{16}+0-\dfrac{1}{64}+\cdots$ となるので $m$ を整数として
$\displaystyle S_{2m}=\dfrac{-\dfrac{1}{4}-\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{m+1}}{1-\left(-\dfrac{1}{4}\right)}$
$\displaystyle S_{2m+1}=\dfrac{-\dfrac{1}{4}-\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{m+1}}{1-\left(-\dfrac{1}{4}\right)}+0$
より，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_{2m}=\lim_{m \to \infty}S_{2m+1}=-\dfrac{1}{5}$ なので
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n}}\cos\dfrac{n\pi}{2}$
$\displaystyle =\lim_{m \to \infty}S_{n}$
$\displaystyle =\boldsymbol{-\dfrac{1}{5}}$
(3) 第 $n$ 部分和を $S_{n}$ とおくと，$m$ を自然数として
$S_{2m-1}=3-2+2-\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3}+\cdots-\dfrac{m+3}{m+1}+\dfrac{m+3}{m+1}=3$
$S_{2m}=3-2+2-\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3}+\cdots-\dfrac{m+3}{m+1}+\dfrac{m+3}{m+1}-\dfrac{m+4}{m+2}=3-\dfrac{m+4}{m+2}$
$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_{2m-1}=3，\lim_{m \to \infty}S_{2m}=2$ より発散．
練習2の解答
収束条件は $x=0$ または $-1< x-2<1$ つまり $\boldsymbol{x=0}$ または $\boldsymbol{1< x<3}$．
(ⅰ) $x=0$ のとき和は $\boldsymbol{0}$
(ⅱ) $1< x<3$ のとき和は $\dfrac{x}{1-(x-2)}=\boldsymbol{\dfrac{x}{3-x}}$
練習3の解答 出典：2008年青山学院大改
円 $S_{n}$ の中心を ${\rm O}_{n}$，半径を $r_{n}$ とする．
まず，$r_{1}$ を求める．$\triangle \rm{ABC}$ の面積に関して
$\dfrac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{r_{1}}{2}(1+1+1)$
$\therefore \ r_{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
また，円 $S_{n}$ と 円 $S_{n+1}$ の図を書き，半径 $r_{n}$ に関する漸化式を立てる．
図より
$r_{n}+r_{n+1}:r_{n}-r_{n+1}=2:1$
$\Longleftrightarrow \ r_{n}+r_{n+1}=2r_{n}-2r_{n+1}$
$\Longleftrightarrow \ r_{n+1}=\dfrac{1}{3}r_{n}$
これより $r_{n}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$ なので
$m_{n}=\pi r_{n}^{2}=\dfrac{\pi}{12}\left(\dfrac{1}{9}\right)^{n-1}$
以上より $\{m_{n}\}$ は等比数列なので
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}m_{n}=\dfrac{\dfrac{\pi}{12}}{1-\dfrac{1}{9}}=\boldsymbol{\dfrac{3}{32}\pi}$