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区分求積法(基本編)

積分(数学Ⅲ)(教科書範囲) ★★★


アイキャッチ

このページでは,区分求積法を初めて学ぶ人でも理解できるように解説します.和が $n$ 個の基本的なタイプを扱います.

和が $n$ 個でない場合( $2n$ 個など)の応用編は区分求積法(応用編)へ.



区分求積とは

唐突ですが,どうすれば滑らかな曲線の関数の面積を求めることができるかを,以下の図で考えます.

区分求積の導入

簡単のため,$0$ 〜 $1$ の区間の面積を考えます.これさえ求めることができれば,同じ考えで任意の面積が求められるはずです.

昔の数学者は,細かく長方形に分割して,それを足せばいいのではないかと考えました.

区分求積の導入2

上の図は幅を $8$ 等分して,長方形のブロックを並べたものです.しかし,$8$ 等分程度では,隙間やはみ出た箇所を考えると,近似できているとは言えませんよね.

そこで次に $16$ 等分してみます.

区分求積の導入3

いい感じに近づきましたね.しかしまだ隙間やはみ出た箇所があります.

そこで $\infty$ 等分にすれば,正確に面積として一致するはずだと考えるのが自然です.つまり,$n$ 等分して求めたブロックの和を,$n \to \infty$ するという操作をします.

区分求積の仕組み

上の図のように,$k$ 番目の長方形の面積 $\displaystyle f\left(\dfrac{k}{n}\right)\dfrac{1}{n}$ を $k$ が $0$ 番目から $n-1$ 番目までシグマで和をとります.その和で $n \to \infty$ すればいいので

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n}=\int_{0}^{1}f(x)\,dx$

となります.しかし左辺のシグマが,$0$ から $n-1$ の和では実用上不便なので,$1$ 番目から $n$ 番目までに変更するために左辺のみ式変形をします.

 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n}$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\left\{\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n}+f\left(\frac{0}{n}\right)\frac{1}{n}-f\left(\frac{n}{n}\right)\frac{1}{n}\right\}$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n}$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$


以下にまとめます.

ポイント

区分求積法

$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1}f(x)\,dx}$


取り急ぎ実用上,上記の形でのみ覚えておけば基本は対応できます.

区分求積は,極限の問題を積分に対応させることが狙いです.

例題と練習問題

例題

例題

次の極限を求めよ.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+4}+\cdots+\dfrac{1}{3n}\right)$


講義

強引に上の公式が使えるようにします.手順は以下の通りです.

STEP1:シグマ表記する.

STEP2:$\dfrac{1}{n}$ をシグマの外に,シグマの中に $\dfrac{k}{n}$ の形を強引に作る.

STEP3:$\dfrac{k}{n}$ を $x$ に対応させて積分表記する.

というステップを踏みます.


解答

 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+4}+\cdots+\dfrac{1}{n+2n}\right)$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+2k}$ ← シグマ表記

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+2\dfrac{k}{n}}$ ← $\dfrac{1}{n}$,$\dfrac{k}{n}$ を作る

$\displaystyle =\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+2x}\,dx$ ← $\dfrac{k}{n}$ を $x$ に対応

$\displaystyle =\left[\frac{1}{2}\log(1+2x)\right]_{0}^{1}$

$\displaystyle =\boldsymbol{\frac{1}{2}\log3}$

練習問題

練習

次の極限を求めよ.

(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{n+2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{2n}}\right)$

(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{(n+1)^{2}}\sum_{k=1}^{n}ke^{\frac{k}{n}}$

(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(2n)}}{n}$

解答

(1)

 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{n+2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{2n}}\right)$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n+k}}$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{k}{n}}}$

$\displaystyle =\int_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\,dx$

$\displaystyle =\Bigl[2\sqrt{1+x}\Bigr]_{0}^{1}$

$\displaystyle =\boldsymbol{2\sqrt{2}-2}$


(2)

 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{(n+1)^{2}}\sum_{k=1}^{n}ke^{\frac{k}{n}}$

$\displaystyle=\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}} \cdot \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n}e^{\frac{k}{n}}$

$\displaystyle =\int_{0}^{1}xe^{x}\,dx$

$\displaystyle =\Bigl[xe^{x}\Bigr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^{x}\,dx$

$=e-(e-1)$

$\displaystyle =\boldsymbol{1}$


(3) 対数をとって,積を和の形に変換するのがポイントです.

$\displaystyle \dfrac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(2n)}}{n}$ を $A$ とおくと

 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\log A$ ← 対数の極限を求めます

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\log \sqrt[n]{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1+\dfrac{n}{n}\right)}$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}\log\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1+\dfrac{n}{n}\right)$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}\left\{\log \left(1+\dfrac{1}{n}\right)+\log\left(1+\dfrac{2}{n}\right)+\cdots+\log\left(1+\dfrac{n}{n}\right)\right\}$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log \left(1+\dfrac{k}{n}\right)$

$\displaystyle =\int_{0}^{1}\log(1+x)\,dx$

$\displaystyle =\Bigl[(1+x)\log(1+x)\Bigr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}(1+x)\dfrac{1}{1+x}\,dx$

$\displaystyle =2\log2-1$

$\displaystyle =\log\dfrac{4}{e}$

$\displaystyle \therefore \lim_{n \to \infty}A=\boldsymbol{\dfrac{4}{e}}$

※ 最後に $\log$ を外すのをお忘れなく。。