区分求積法(応用編)
積分(数学Ⅲ)(入試の標準) ★★★★
区分求積法の応用編，和が $mn$ 個( $2n$ 個や $3n$ 個等)のときを扱います．つまり，区分求積法(基本編)の一般化です．
和が $mn$ 個のときの公式と図形的な意味
区分求積法(和が $mn$ 個のとき)
$m$ を自然数とすると
$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\color{blue}{m}n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{\color{blue}{m}}f(x)\,dx}$
当然 $m=1$ にすれば区分求積法(基本編)と同じです．
図形的な意味
上の式の左辺は
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{mn}f\left(\frac{k}{n}\right)$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{mn}f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n}$
とすると，最後の式のシグマは，$k$ 番目の長方形の面積 $\displaystyle f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n}$ を $1$ 番目から，$mn$ 番目まで $mn$ 個足すという意味なので，図にすると
上のようになります．
$n \to \infty$ にすれば，分割が細かくなるので，実質，下のように $0$ から $m$ までの区間の面積と同値になりますね．
例題と練習問題
例題
例題
次の極限を求めよ．
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{4n}\right)$
講義
基本編と同じく強引に上の公式が使えるようにします．シグマの形にして，$\dfrac{1}{n}$ を外に出してと，操作は同じです．
解答
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{4n}\right)$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{\color{blue}{3}n}\frac{1}{n+k}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\color{blue}{3}n}\frac{1}{1+\dfrac{k}{n}}$
$\displaystyle =\int_{0}^{\color{blue}{3}}\dfrac{1}{1+x}\,dx$
$\displaystyle =\Bigl[\log(1+x)\Bigr]_{0}^{3}$
$\displaystyle =\boldsymbol{2\log2}$
練習問題
練習
次の極限を求めよ．
(1) $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{2}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{3}{2}}+\cdots+\dfrac{1}{2n}\right)$
(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{3}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{5}{2}}+\cdots+\dfrac{2}{6n-1}\right)$
解答 出典：2015日本医科大[Ⅱ]の一部
(1)
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{2}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{3}{2}}+\cdots+\dfrac{1}{n+\dfrac{2n}{2}}\right)$
$\displaystyle=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{1}{n+\dfrac{k}{2}}$
$\displaystyle=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}\dfrac{k}{n}}$
$\displaystyle =\int_{0}^{2}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}x}\,dx$
$\displaystyle =\left[2\log\left(1+\dfrac{1}{2}x\right)\right]_{0}^{2}$
$\displaystyle =\boldsymbol{2\log2}$
(2)
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{3}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{5}{2}}+\cdots+\dfrac{1}{3n-\dfrac{1}{2}}\right)$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{1}{n+\dfrac{2k-1}{2}}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{1}{1+\dfrac{2k-1}{2n}}\cdot\dfrac{1}{n}$
$\displaystyle =\int_{0}^{2}\dfrac{1}{1+x}\,dx$
$\displaystyle =\boldsymbol{\log3}$
※ 長方形の上の辺の中点に関数を通す方法です．わかりにくい場合は下の別解を参照ください．
別解$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{3}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{5}{2}}+\cdots+\dfrac{1}{3n-\dfrac{1}{2}}\right)$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{3}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{5}{2}}+\cdots+\dfrac{1}{n+\dfrac{4n-1}{2}}\right)$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\left(\sum_{k=1}^{4n}\dfrac{1}{n+\dfrac{k}{2}}-\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{1}{n+\dfrac{2k}{2}}\right)$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{4n}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}\dfrac{k}{n}}-\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{1}{1+\dfrac{k}{n}}\right)$
$\displaystyle =\int_{0}^{4}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}x}\,dx-\int_{0}^{2}\dfrac{1}{1+x}\,dx$
$\displaystyle =\left[2\log\left(1+\dfrac{1}{2}x\right)\right]_{0}^{4}-\Bigl[\log\left(1+x\right)\Bigr]_{0}^{2}$
$\displaystyle =2\log3-\log3$
$\displaystyle =\boldsymbol{\log3}$
※ 与式は奇数番目の $2n$ 個の和なので，全体の $4n$ 個の和から偶数番目の $2n$ 個の和を引いて求めました．