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区分求積法(応用編)

積分(数学Ⅲ)(入試の標準) ★★★★


アイキャッチ

区分求積法の応用編,和が $mn$ 個( $2n$ 個や $3n$ 個等)のときを扱います.つまり,区分求積法(基本編)の一般化です.



和が $mn$ 個のときの公式と図形的な意味

ポイント

区分求積法(和が $mn$ 個のとき)

$m$ を自然数とすると

$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\color{blue}{m}n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{\color{blue}{m}}f(x)\,dx}$


当然 $m=1$ にすれば区分求積法(基本編)と同じです.

図形的な意味

上の式の左辺は

 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{mn}f\left(\frac{k}{n}\right)$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{mn}f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n}$

とすると,最後の式のシグマは,$k$ 番目の長方形の面積 $\displaystyle f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n}$ を $1$ 番目から,$mn$ 番目まで $mn$ 個足すという意味なので,図にすると


区分求積の応用

上のようになります.

$n \to \infty$ にすれば,分割が細かくなるので,実質,下のように $0$ から $m$ までの区間の面積と同値になりますね.


区分求積の応用2

例題と練習問題

例題

例題

次の極限を求めよ.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{4n}\right)$


講義

基本編と同じく強引に上の公式が使えるようにします.シグマの形にして,$\dfrac{1}{n}$ を外に出してと,操作は同じです.


解答

 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{4n}\right)$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{\color{blue}{3}n}\frac{1}{n+k}$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\color{blue}{3}n}\frac{1}{1+\dfrac{k}{n}}$

$\displaystyle =\int_{0}^{\color{blue}{3}}\dfrac{1}{1+x}\,dx$

$\displaystyle =\Bigl[\log(1+x)\Bigr]_{0}^{3}$

$\displaystyle =\boldsymbol{2\log2}$

練習問題

練習

次の極限を求めよ.

(1) $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{2}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{3}{2}}+\cdots+\dfrac{1}{2n}\right)$

(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{3}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{5}{2}}+\cdots+\dfrac{2}{6n-1}\right)$

解答 出典:2015日本医科大[Ⅱ]の一部

(1)

 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{2}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{3}{2}}+\cdots+\dfrac{1}{n+\dfrac{2n}{2}}\right)$

$\displaystyle=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{1}{n+\dfrac{k}{2}}$

$\displaystyle=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}\dfrac{k}{n}}$

$\displaystyle =\int_{0}^{2}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}x}\,dx$

$\displaystyle =\left[2\log\left(1+\dfrac{1}{2}x\right)\right]_{0}^{2}$

$\displaystyle =\boldsymbol{2\log2}$


(2)

 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{3}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{5}{2}}+\cdots+\dfrac{1}{3n-\dfrac{1}{2}}\right)$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{3}{2}}+\dfrac{1}{n+\dfrac{5}{2}}+\cdots+\dfrac{1}{n+\dfrac{4n-1}{2}}\right)$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\left(\sum_{k=1}^{4n}\dfrac{1}{n+\dfrac{k}{2}}-\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{1}{n+\dfrac{2k}{2}}\right)$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{4n}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}\dfrac{k}{n}}-\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{1}{1+\dfrac{k}{n}}\right)$

$\displaystyle =\int_{0}^{4}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}x}\,dx-\int_{0}^{2}\dfrac{1}{1+x}\,dx$

$\displaystyle =\left[2\log\left(1+\dfrac{1}{2}x\right)\right]_{0}^{4}-\Bigl[\log\left(1+x\right)\Bigr]_{0}^{2}$

$\displaystyle =2\log3-\log3$

$\displaystyle =\boldsymbol{\log3}$


※ 与式は奇数番目の $2n$ 個の和なんで,全体の $4n$ 個の和から偶数番目の $2n$ 個の和を引いて求めました.

※ 長方形の真ん中を通す方法もありますので,2015日本医科大過去問解答を是非ご覧ください.[Ⅱ]です.