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無限等比数列の極限

極限(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

無限等比数列の極限を扱います.



無限等比数列の極限

ポイント

無限等比数列の極限

無限数列 $\{a_{n}\}$ が等比数列であるとき,無限等比数列という.$r^{n}$ の極限は

$r >1$ のとき,$\displaystyle \ \color{red}{\lim_{n \to \infty}r^{n}=\infty}$

$r=1$ のとき,$\displaystyle \ \color{red}{\lim_{n \to \infty}r^{n}=1}$ (収束)

$-1 < r < 1$ のとき,$\displaystyle \ \color{red}{\lim_{n \to \infty}r^{n}}$ (収束)

$r \leqq -1$ のとき,振動 (極限なし)

これより,無限等比数列 $\{r^{n}\}$ の収束条件は

$-1 < r \leqq 1$


直感にあうと思いますが,二項定理を使うことできちんと示すことができます.下に格納しました.

上の証明

証明

(ⅰ) $r >1$ のとき,$r=1+h$ $(h >0)$とおくと

 $r^{n}$

$=(1+h)^n$

$=_{n}$${\rm C}_{0}+_{n}$${\rm C}_{1}h+_{n}$${\rm C}_{2}h^{2}+_{n}$${\rm C}_{n}h^n$ ←二項定理

$=1+nh+\dfrac{n(n-1)}{2}h^{2}+\cdots+h^n >1+nh$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(1+nh)=\infty$ より

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n}=\infty$

※ いわゆる追い出しの原理ですね.

(ⅱ) $r=1$ のとき,明らかなので省略.

(ⅲ) $0 < r < 1$ のとき,$s=\dfrac{1}{r}$ とおくと,$s>1$ より,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s^{n}=\infty$.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n}=\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{s^n}=0$

(ⅳ) $r=0$ のとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n}=0$

(ⅴ) $-1 < r < 0$ のとき,$s=-r$ とおくと,$0 < s <1$ より,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s^{n}=0$.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n}=\lim_{n \to \infty}(-s)^n=\lim_{n \to \infty}(-1)^{n}s^{n}$

ここで,$-1 \leqq (-1)^{n}\leqq 1 \Longleftrightarrow -s^{n} \leqq (-1)^{n}s^{n}\leqq s^{n}$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(-s^{n}\right)=\lim_{n \to \infty}s^{n}=0$ より

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n}=\lim_{n \to \infty}(-1)^{n}s^{n}=0$

(ⅵ) $r=-1$ のとき,数列 $\{r^{n}\}$ は $-1$ と $1$ を繰り返すので振動する.

(ⅶ) $r<-1$ のとき,$s=-r$ とおくと,$s>1$,$r^{n}=(-1)^{n}s^{n}$ となるが,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(-1)^{n}$ は振動,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s^{n}=\infty$ より,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n}$ は振動する.

例題と練習問題

例題

例題

次の極限を求めよ.

(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{2(-3)^{n}+7\cdot5^{n+1}}{5\cdot3^{n+1}-2\cdot 5^{n}}$

(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(5^{n}-7\cdot 2^{n})$


講義

底が大きい指数関数に注目します.(1)は分母分子 $5^{n}$ で割る.(2)は $5^{n}$ で括ります.


解答

(1)

 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{2(-3)^{n}+7\cdot5^{n+1}}{5\cdot3^{n+1}-2\cdot 5^{n}}$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{2\left(-\dfrac{3}{5}\right)^{n}+35}{15\left(\dfrac{3}{5}\right)^{n}-2}$

$=\boldsymbol{-\dfrac{35}{2}}$


(2)

 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(5^{n}-7\cdot 2^{n})$

$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}5^{n}\left\{1-7 \left(\dfrac{2}{5}\right)^{n}\right\}$

$=\boldsymbol{\infty}$

練習問題

練習1

次の極限を求めよ.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{(-3)^{n-1}+2(-7)^{n+1}}{5(-7)^{n}+3\cdot 4^{n}}$


練習2

$a_{1}=0$,$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_{n}+3$ で表される数列 $\{a_{n}\}$ の極限を求めよ.


練習3

$x$ の関数 $\displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty}\dfrac{x^{n}+x+1}{x^{2n}+1}$ を求めよ.

練習1の解答

 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{(-3)^{n-1}+2(-7)^{n+1}}{5(-7)^{n}+3\cdot 4^{n}}$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{(-3)^{-1}\cdot\left(\dfrac{3}{7}\right)^{n}-14}{5+3\left(-\dfrac{4}{7}\right)^{n}}$

$=\boldsymbol{-\dfrac{14}{5}}$


練習2の解答

$\alpha=\dfrac{1}{2}\alpha+3 \Longleftrightarrow \alpha=6$ より

$a_{n+1}-6=\dfrac{1}{2}(a_{n}-6)$ と変形すると

$\displaystyle a_{n}-6=(a_{1}-3)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=-3 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

$\therefore \ a_{n}=6-3 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

$\therefore \ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=\boldsymbol{6}$

※ こちらは2-4型の漸化式で紹介しています.漸化式を総確認したい場合漸化式の全パターンをご覧ください.

※ 収束するならば $\alpha$ 自体が極限値(均衡値)になりますね.


練習3の解答

(ⅰ) $|x|<1$ のとき

 $\displaystyle f(x)$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{x^{n}+x+1}{x^{2n}+1}$

$\displaystyle =\dfrac{0+x+1}{0+1}=x+1$


(ⅱ) $|x|>1$ のとき

 $\displaystyle f(x)$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{x^{n}+x+1}{x^{2n}+1}$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{\dfrac{1}{x^{n}}+\dfrac{x+1}{x^{2n}}}{1+\dfrac{1}{x^{2n}}}=0$


(ⅲ) $x=1$ のとき

 $\displaystyle f(x)=\dfrac{3}{2}$


(ⅳ) $x=-1$ のとき

分子の $x^{n}$ が振動するので定義されない.

以上より

$\boldsymbol{f(x)=}\begin{cases} \boldsymbol{x+1 \ \ \ (|x|<1)} \\ \boldsymbol{0 \ \ \ (|x|>1)} \\ \boldsymbol{\dfrac{3}{2} \ \ \ (x=1)}\end{cases}$