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無限等比数列の極限

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

このページでは無限等比数列の極限を扱います.





無限等比数列の極限

ポイント

無限等比数列の極限

無限数列 $\{a_{n}\}$ が等比数列であるとき,無限等比数列という.$r^{n}$ の極限は

$r >1$ のとき,$\displaystyle \ \color{red}{\lim_{n \to \infty}r^{n}=\infty}$

$r=1$ のとき,$\displaystyle \ \color{red}{\lim_{n \to \infty}r^{n}=1}$ (収束)

$-1 < r < 1$ のとき,$\displaystyle \ \color{red}{\lim_{n \to \infty}r^{n}}$ (収束)

$r \leqq -1$ のとき,振動 (極限なし)

これより,無限等比数列 $\{r^{n}\}$ の収束条件は

$-1 < r \leqq 1$


直感にあうと思いますが,二項定理を使うことできちんと示すことができます.下に格納しました.



上の証明

証明




例題と練習問題

例題

例題

次の極限を求めよ.

(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{2\cdot(-3)^{n}+7\cdot5^{n+1}}{5\cdot3^{n+1}-2\cdot 5^{n}}$

(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(5^{n}-7\cdot 2^{n})$


講義

底が大きい指数関数に注目します.(1)は分母分子 $5^{n}$ で割る.(2)は $5^{n}$ で括ります.


解答

(1)

 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{2\cdot(-3)^{n}+7\cdot5^{n+1}}{5\cdot3^{n+1}-2\cdot 5^{n}}$

$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{2\cdot\left(-\dfrac{3}{5}\right)^{n}+35}{15\cdot\left(\dfrac{3}{5}\right)^{n}-2}$

$=\boldsymbol{-\dfrac{35}{2}}$


(2)

 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(5^{n}-7\cdot 2^{n})$

$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}5^{n}\left\{1-7\cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^{n}\right\}$

$=\boldsymbol{\infty}$



練習問題

練習1

次の極限を求めよ.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{(-3)^{n-1}+2\cdot(-7)^{n+1}}{5\cdot(-7)^{n}+3\cdot 4^{n}}$


練習2

$a_{1}=0$,$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_{n}+3$ で表される数列 $\{a_{n}\}$ の極限を求めよ.


練習3

$x$ の関数 $\displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty}\dfrac{x^{n}+x+1}{x^{2n}+1}$ を求めよ.

練習の解答



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