無限等比数列の極限
極限(教科書範囲) ★★

無限等比数列の極限を扱います.
無限等比数列の極限
無限等比数列の極限
無限数列 $\{a_{n}\}$ が等比数列であるとき,無限等比数列という.$r^{n}$ の極限は
$r >1$ のとき,$\displaystyle \ \boldsymbol{\lim_{n \to \infty}r^{n}=\infty}$
$r=1$ のとき,$\displaystyle \ \boldsymbol{\lim_{n \to \infty}r^{n}=1}$ (収束)
$-1 < r < 1$ のとき,$\displaystyle \ \boldsymbol{\lim_{n \to \infty}r^{n}}$ (収束)
$r \leqq -1$ のとき,振動 (極限なし)
これより,無限等比数列 $\{r^{n}\}$ の収束条件は
$\boldsymbol{-1 < r \leqq 1}$
証明
(ⅰ) $r >1$ のとき,$r=1+h$ $(h >0)$とおくと
$r^{n}$
$=(1+h)^n$
$=_{n}$${\rm C}_{0}+_{n}$${\rm C}_{1}h+_{n}$${\rm C}_{2}h^{2}+_{n}$${\rm C}_{n}h^n$ ←二項定理
$=1+nh+\dfrac{n(n-1)}{2}h^{2}+\cdots+h^n >1+nh$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(1+nh)=\infty$ より
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n}=\infty$
※ いわゆる追い出しの原理ですね.
(ⅱ) $r=1$ のとき,明らかなので省略.
(ⅲ) $0 < r < 1$ のとき,$s=\dfrac{1}{r}$ とおくと,$s>1$ より,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s^{n}=\infty$.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n}=\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{s^n}=0$
(ⅳ) $r=0$ のとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n}=0$
(ⅴ) $-1 < r < 0$ のとき,$s=-r$ とおくと,$0 < s <1$ より,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s^{n}=0$.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n}=\lim_{n \to \infty}(-s)^n=\lim_{n \to \infty}(-1)^{n}s^{n}$
ここで,$-1 \leqq (-1)^{n}\leqq 1 \Longleftrightarrow -s^{n} \leqq (-1)^{n}s^{n}\leqq s^{n}$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(-s^{n}\right)=\lim_{n \to \infty}s^{n}=0$ より
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n}=\lim_{n \to \infty}(-1)^{n}s^{n}=0$
(ⅵ) $r=-1$ のとき,数列 $\{r^{n}\}$ は $-1$ と $1$ を繰り返すので振動する.
(ⅶ) $r<-1$ のとき,$s=-r$ とおくと,$s>1$,$r^{n}=(-1)^{n}s^{n}$ となるが,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(-1)^{n}$ は振動,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s^{n}=\infty$ より,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n}$ は振動する.
上のように公比によって極限が変わります.
証明はせめて $r >1$ のときだけでも理解しておくことをオススメします.
例題と練習問題
例題
例題
次の極限を求めよ.
(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{2(-3)^{n}+7\cdot5^{n+1}}{5\cdot3^{n+1}-2\cdot 5^{n}}$
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(5^{n}-7\cdot 2^{n})$
講義
底が大きい指数関数に注目します.(1)は分母分子 $5^{n}$ で割る.(2)は $5^{n}$ で括ります.
解答
(1)
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{2(-3)^{n}+7\cdot5^{n+1}}{5\cdot3^{n+1}-2\cdot 5^{n}}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{2\left(-\dfrac{3}{5}\right)^{n}+35}{15\left(\dfrac{3}{5}\right)^{n}-2}$
$=\boldsymbol{-\dfrac{35}{2}}$
(2)
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(5^{n}-7\cdot 2^{n})$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}5^{n}\left\{1-7 \left(\dfrac{2}{5}\right)^{n}\right\}$
$=\boldsymbol{\infty}$
練習問題
練習1
次の極限を求めよ.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{(-3)^{n-1}+2(-7)^{n+1}}{5(-7)^{n}+3\cdot 4^{n}}$
練習2
$a_{1}=0$,$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_{n}+3$ で表される数列 $\{a_{n}\}$ の極限を求めよ.
練習3
$x$ の関数 $\displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty}\dfrac{x^{n}+x+1}{x^{2n}+1}$ を求めよ.
練習1の解答
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{(-3)^{n-1}+2(-7)^{n+1}}{5(-7)^{n}+3\cdot 4^{n}}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{(-3)^{-1}\cdot\left(\dfrac{3}{7}\right)^{n}-14}{5+3\left(-\dfrac{4}{7}\right)^{n}}$
$=\boldsymbol{-\dfrac{14}{5}}$
練習2の解答
$\alpha=\dfrac{1}{2}\alpha+3 \Longleftrightarrow \alpha=6$ より
$a_{n+1}-6=\dfrac{1}{2}(a_{n}-6)$ と変形すると
$\displaystyle a_{n}-6=(a_{1}-6)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=-6 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
$\therefore \ a_{n}=6-6 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
$\therefore \ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=\boldsymbol{6}$
※ こちらは2-4型の漸化式で紹介しています.漸化式を総確認したい場合漸化式の全パターンをご覧ください.
※ 収束するならば $\alpha$ 自体が極限値(均衡値)になりますね.
練習3の解答
(ⅰ) $|x|<1$ のとき
$\displaystyle f(x)$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{x^{n}+x+1}{x^{2n}+1}$
$\displaystyle =\dfrac{0+x+1}{0+1}=x+1$
(ⅱ) $|x|>1$ のとき
$\displaystyle f(x)$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{x^{n}+x+1}{x^{2n}+1}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\dfrac{\dfrac{1}{x^{n}}+\dfrac{x+1}{x^{2n}}}{1+\dfrac{1}{x^{2n}}}=0$
(ⅲ) $x=1$ のとき
$\displaystyle f(x)=\dfrac{3}{2}$
(ⅳ) $x=-1$ のとき
分子の $x^{n}$ が振動するので定義されない.
以上より
$\boldsymbol{f(x)=}\begin{cases} \boldsymbol{x+1 \ \ \ (|x|<1)} \\ \boldsymbol{0 \ \ \ (|x|>1)} \\ \boldsymbol{\dfrac{3}{2} \ \ \ (x=1)}\end{cases}$