講義

$y=\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{3}{4}$ と $y=x$ のグラフを書いて極限を考えます．$a_{1}=2$，$a_{2}=\dfrac{7}{4}$，$a_{3}=\dfrac{97}{64}$ と書き込んでいくと

図から $1$ に収束することがわかりそうです．

解答

$y=\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{3}{4}$ と $y=x$ のグラフを書くと

図から $1$ に収束することが予想でき，それが正しいことを示す．

　$|a_{n+1}-1|$

$= \left|\dfrac{1}{4}a_{n}^{2}-\dfrac{1}{4}\right|$

$= \left|\dfrac{a_{n}+1}{4}(a_{n}-1)\right|$

$= \left|\dfrac{a_{n}+1}{4}\right| \left|a_{n}-1\right|$

ここで，$1< a_{n}\leqq 2$ であることを数学的帰納法で示す．

(ⅰ) $n=1$ のとき $a_{1}=2$ より $1< a_{n}\leqq 2$ である．

(ⅱ) $n=k$ のとき $1< a_{n}\leqq 2$ であると仮定する．

$n=k+1$ のとき

$1< a_{k}^{2}\leqq 4$

$\Longleftrightarrow \ \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}< \dfrac{1}{4}a_{k}^{2}+\dfrac{3}{4}\leqq 1+\dfrac{3}{4}$

$\therefore \ 1< a_{k+1}\leqq 2$

よりこのときも $1< a_{n}\leqq 2$ である．

(ⅰ)(ⅱ)よりすべての自然数 $n$ に関して $1< a_{n}\leqq 2$ である．

つまり

　$|a_{n+1}-1|$

$= \left|\dfrac{a_{n}+1}{4}\right| \left|a_{n}-1\right|$

$\leqq \dfrac{3}{4}\left|a_{n}-1\right|$

これを繰り返し適用すると

$0\leqq |a_{n}-1|\leqq \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}\left|a_{1}-1\right|$

ここで $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}\left|a_{1}-1\right|=0$ より

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}|a_{n}-1|=0$

$\displaystyle \therefore \ \lim_{n \to \infty}a_{n}=\boldsymbol{1}$

※ $|a_{n+1}-1|\leqq \dfrac{3}{4}\left|a_{n}-1\right|$　は，$a_{n+1}$ と $1$ との距離は，$a_{n}$ と $1$ との距離の $\dfrac{3}{4}$ 倍以下だという意味です．つまり $n$ が大きくなればなるほど $1$ との距離が近づくということですね．

※ 別解として $f(x)=\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{3}{4}$ として平均値の定理を使うと

$\begin{cases}\dfrac{f(a_{n})-f(1)}{a_{n}-1}=f'(c) \Longleftrightarrow \dfrac{a_{n+1}-1}{a_{n}-1}=\dfrac{c}{2} \\ 1<c<a_{n}\end{cases}$

を満たす $c$ が存在します．この場合も $c$ つまり $a_{n}\leqq2$ を言わないといけないので，労力は上とほぼ変わりませんね．