証明

流れは定積分で面積が求まる理由と同様です．

上の図のように $x$ 座標が $a$ から $x$ までの区間の体積を $x$ の関数として $V(x)$ とおきます．

区間を $a$ から $x+h$ までにすれば，体積は $V(x+h)$ となるはずです．

$V(x+h)$ と $V(x)$ の差を考えます．

(ⅰ) $h>0$ のとき

$V(x+h)-V(x)$ は図の赤い部分になります．区間が $[x,x+h]$ での $S(x)$ の最小値を $m_{1}$，最大値を $M_{1}$ とおくと

$m_{1}h \leqq V(x+h)-V(x) \leqq M_{1}h$

$\Longleftrightarrow \ m_{1} \leqq \dfrac{V(x+h)-V(x)}{h} \leqq M_{1}$

$\displaystyle \lim_{h \to +0}m_{1}=\lim_{h \to +0}M_{1}=S(x)$，はさみうちの原理より

$\displaystyle \lim_{h \to +0}\dfrac{V(x+h)-V(x)}{h}=S(x)$ $ \ \cdots$ ①

が成立．

(ⅱ) $h<0$ のとき

同様に区間 $[x+h,x]$ での $f(x)$ の最小値を $m_{2}$，最大値を $M_{2}$ とおくと

$m_{2}(-h) \leqq V(x)-V(x+h) \leqq M_{2}(-h)$

$\Longleftrightarrow \ m_{2} \leqq \dfrac{V(x+h)-V(x)}{h} \leqq M_{2}$

$\displaystyle \lim_{h \to -0}m_{2}=\lim_{h \to -0}M_{2}=S(x)$，はさみうちの原理より

$\displaystyle \lim_{h \to -0}\dfrac{V(x+h)-V(x)}{h}=S(x)$ $ \ \cdots$ ②

が成立．

①，②より極限値が存在し，導関数の定義より

$\displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{V(x+h)-V(x)}{h}=V'(x)=S(x)$ $ \ \cdots$ ③

が成り立ちます．$x$ で不定積分すると( $S(x)$ の原始関数の1つを $\Sigma (x)$ とする)

$\displaystyle V(x)=\int_{}^{}S(x)\,dx=\Sigma(x)+C$

$C$ を積分定数として上のようになります．上の両辺に $x=a$ を代入すると $V(a)=0$ なので

$\displaystyle 0=\Sigma(a)+C$

$\therefore C=-\Sigma(a)$

となるので，$\displaystyle V(x)=\Sigma(x)-\Sigma(a)$ が成立．

ここで $x=b$ を代入したものが求める面積なので

　$V$

$=V(b)$

$=\Sigma(b)-\Sigma(a)$

$\displaystyle =\int_{a}^{b}S(x)\,dx$　( $\because$ 定積分の定義)