方べきの定理
平面図形(教科書範囲) ★★
方べきの定理と方べきの定理の逆を扱います．
円周角の定理，円に内接する四角形の対角の和，接弦定理をフルに使って導く定理です．旧センター試験や共通テストで頻出です．
方べきの定理
円の内部または外部の点を通る円の割線，接線に関する定理です．証明はよく知られた方法とベクトルを用いた方法を紹介します．
ポイント
方べきの定理
(ⅰ)
(ⅱ)
(ⅲ)
(ⅰ)〜(ⅲ)のどの場合も，円の内部または外部の点 $\rm P$ を通る2本の円の割線(接線)に関して以下が成立．
$\boldsymbol{\rm PA\cdot PB=PC\cdot PD}$
※ (ⅲ)は(ⅱ)で下の割線を接線になるまで移動させたものです． つまり $\rm C$ と $\rm D$ は同一の点でかつ接線の接点になります．$\rm D$ を $\rm C$ に統一すると $\rm PA\cdot PB=PC^{2}$ となります．
証明
(ⅰ)
円周角の定理より $\angle{\rm CAP}=\angle{\rm BDP}$
対頂角は等しいので $\angle{\rm CPA}=\angle{\rm BPD}$ より
$\triangle{\rm APC}\sim \triangle{\rm DPB}$
$\therefore \ \rm PA:PD=PC:PB$
$\therefore \ \rm PA\cdot PB=PC\cdot PD$
(ⅱ)
$\angle{\rm PCA}$
$=180^{\circ}-\angle{\rm ACD}$
$=\angle{\rm PBD}$ ←円に内接する四角形
また $\angle{\rm CPA}=\angle{\rm BPD}$ より
$\triangle{\rm APC}\sim \triangle{\rm DPB}$
$\therefore \ \rm PA:PD=PC:PB$
$\therefore \ \rm PA\cdot PB=PC\cdot PD$
(ⅲ)
接弦定理より $\angle{\rm PCA}=\angle{\rm PBD}$
また $\angle{\rm CPA}=\angle{\rm BPC}$ より
$\triangle{\rm APC}\sim \triangle{\rm DPB}$
$\therefore \ \rm PA:PD=PC:PB$
$\therefore \ \rm PA\cdot PB=PC\cdot PD$
丸暗記だと忘れることが多いので，証明の理解が非常に大切で，公式を忘れても相似を見つけて導けることが重要です．
ベクトルを使う証明
ベクトルを使うと(ⅰ)〜(ⅲ)を包括的に示せるので既習者で意欲的な方向けに下に格納します．
ベクトルを使う証明
証明
(ⅰ)〜(ⅲ)のどの場合も円の中心を $\rm O$，円の半径を $r$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut p}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut b}$ とする．
(ⅰ)〜(ⅲ)のどの場合も，$\rm P$，$\rm A$，$\rm B$ は一直線上にあるので(共線条件より)
$\overrightarrow{\mathstrut p}=(1-t)\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}$
とおける．次に
${\rm PA\cdot PB}=\left||\overrightarrow{\mathstrut p}|^{2}-r^{2}\right|$
が成り立つことを示す．
${\rm PA\cdot PB}$
$=|\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}||\overrightarrow{\mathstrut \rm BP}|$
$=|\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut b}|$
$=|-t\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}||(1-t)\overrightarrow{\mathstrut a}+(t-1)\overrightarrow{\mathstrut b}|$
$=|t||t-1||\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}$
$=|t(t-1)|(2r^{2}-2\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b})$
$=|t(t-1)|(2r^{2}-2r^{2}\cos\angle{\rm AOB})$ ←内積の定義
$=2r^{2}|t(t-1)|(1-\cos\angle{\rm AOB})$
また
$\left||\overrightarrow{\mathstrut p}|^{2}-r^{2}\right|$
$=\left||(1-t)\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}-r^{2}\right|$
$=\left|(1-t)^{2}r^{2}+2t(1-t)\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+t^{2}r^{2}-r^{2}\right|$
$=\left|(2t^{2}-2t)r^{2}-2t(t-1)\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}\right|$
$=\left|2r^{2}t(t-1)(1-\cos\angle{\rm AOB})\right|$
$=2r^{2}|t(t-1)|(1-\cos\angle{\rm AOB})$
以上より，${\rm PA\cdot PB}=\left||\overrightarrow{\mathstrut p}|^{2}-r^{2}\right|$．
同様に，${\rm PC\cdot PD}=\left||\overrightarrow{\mathstrut p}|^{2}-r^{2}\right|$ が言える．これは $\rm C$ と $\rm D$ が同一の点でかつ接線の接点だとしても成り立つ．
$\rm PA\cdot PB=PC\cdot PD$
方べきの定理の逆
前章の定理は逆も成り立ちます．
ポイント
方べきの定理の逆
(ⅰ)
(ⅱ)
(ⅲ)
$\boldsymbol{\rm PA\cdot PB=PC\cdot PD}$ が成り立つならば4点 $\boldsymbol{\rm A}$，$\boldsymbol{\rm B}$，$\boldsymbol{\rm C}$，$\boldsymbol{\rm D}$ は同一円周上にある．
証明
(ⅰ)
$\rm PA\cdot PB=PC\cdot PD$ より $\rm PA:PC=PD:PB$
$\angle{\rm CPA}=\angle{\rm BPD}$ より
$\triangle{\rm APC}\sim \triangle{\rm DPB}$
$\therefore \ \angle{\rm CAP}=\angle{\rm BDP}$
円周角の定理の逆より $\rm A$，$\rm B$，$\rm C$，$\rm D$ は同一円周上にある．
(ⅱ)
$\rm PA\cdot PB=PC\cdot PD$ より $\rm PA:PC=PD:PB$
$\angle{\rm CPA}=\angle{\rm BPD}$ より
$\triangle{\rm APC}\sim \triangle{\rm DPB}$
$\therefore \ \angle{\rm ACP}=180^{\circ}-\angle{\rm ACD}=\angle{\rm PBD}$
$\therefore \ \angle{\rm ACD}+\angle{\rm PBD}=180^{\circ}$
対角の和が $180^{\circ}$より $\rm A$，$\rm B$，$\rm C$，$\rm D$ は同一円周上にある．
(ⅲ)
$\rm PA\cdot PB=PC\cdot PD$ より $\rm PA:PC=PD:PB$
$\angle{\rm CPA}=\angle{\rm BPD}$ より
$\triangle{\rm APC}\sim \triangle{\rm DPB}$
$\therefore \ \angle{\rm ACP}=\angle{\rm DBP}$
接弦定理の逆より $\rm A$，$\rm B$，$\rm C$ ( $\rm D$ )は同一円周上にある．
例題と練習問題
例題
例題
以下の図の $x$ の値を求めよ．
(1)
(2)
(3) $\rm O$ は円の中心，$\rm T$ は接点とする．
講義
方べきの定理の各パターンの問題です．
解答
(1)
方べきの定理より
$4x=5\cdot\dfrac{7}{2}$
$\therefore \ x=\boldsymbol{\dfrac{35}{8}}$
(2)
方べきの定理より
$3\cdot12=x(x+5)$
$\Longleftrightarrow \ x^{2}+5x-36=0$
$\therefore \ x=\boldsymbol{4}$ ( $x>0$ )
(3)
線分 $\rm AB$ が直径となるように $\rm B$ をとると，方べきの定理より
$\rm PA\cdot PB=PT^2$
つまり
$x(x+10)=(\sqrt{39})^2$
$\Longleftrightarrow \ x^{2}+10x-39=0$
$\therefore \ x=\boldsymbol{3}$ ( $x>0$ )
練習問題
練習
原点 $\rm O$ を中心とする半径 $4$ の円を $C$ とする．円 $C$ の外部の点 $\rm P$ を通る直線が，円 $C$ と異なる2点 $\rm A$，$\rm B$ で交わるとする．$\rm PA=8$，$\rm AB=6$ であるとき，線分 $\rm OP$ の長さを求めよ．
練習の解答 出典：2017東海大医学部
${\rm OP}=x$ とおくと，方べきの定理より
$(x-4)(x+4)=8\cdot14$ または $2\cdot8$
$\therefore \ x^{2}=128$ または $32$
$\therefore \ x=\boldsymbol{8\sqrt{2}，4\sqrt{2}}$