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共線条件

平面,空間ベクトル(教科書範囲) ★★★


アイキャッチ

平面,空間ベクトル共通ページです.

共線条件(1直線上にある条件)に関して扱います.

平面ベクトル,空間ベクトルともに概念は同じです.平面ベクトル勉強中の場合は1章,2章のみご参照ください.



共線条件(平面,空間ベクトル共通)

ベクトルが1直線上にあることの条件はベクトルの演算で扱いました.これを踏まえ3点が一直線上にあることの条件をまとめます.

ポイント

共線条件

内分点の共線条件

3点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$,${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$,${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ が一直線上にある条件は

$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=t\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}}$

なる実数 $t$ が存在することで,これを変形すると

$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut p}=(1-t)\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}}$

となる.

※ 下の式はこの形を暗記するよりも,$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ の係数の和が $\boldsymbol{1}$ であることを覚えるべきです.言い換えると $\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}$ ( $s+t=1$ )となります.

※ 共線条件という言葉は検定教科書で記載がないことがほとんどですが,よく使われている用語です.

証明

$\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=t\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}$

$\Longleftrightarrow \ \overrightarrow{\mathstrut \rm OP}-\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=t(\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}-\overrightarrow{\mathstrut \rm OA})$

$\Longleftrightarrow \ \overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=(1-t)\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$

$\therefore \ \overrightarrow{\mathstrut p}=(1-t)\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}$


証明にあるように上から下を導けること,つまりどちらも共線条件であることを知っておくべきです.下は内分点,外分点の位置ベクトルの一般化になっています.

例題と練習問題(平面ベクトル)

例題

例題

例題(2)

$\triangle {\rm ABC}$ において,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$ とし,辺 $\rm OA$ の中点を $\rm C$,辺 $\rm OB$ を $9:8$ に内分する点を $\rm D$ とする.直線 $\rm AD$ と直線 $\rm BC$ の交点を $\rm P$ としたとき, $\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$ を $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ を用いて表せ.


講義

2直線の交点の位置ベクトルがテーマで高校の定期試験等で頻出です.$\rm A$,$\rm P$,$\rm D$ が一直線上,そして $\rm B$,$\rm P$,$\rm C$ が一直線上で共線条件をそれぞれ適用して係数比較します.


解答

$\rm A$,$\rm P$,$\rm D$ が一直線上より

$\begin{align}\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}&=(1-t)\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OD} \\ &=(1-t)\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{9}{17}t\overrightarrow{\mathstrut b}\end{align}$

$\rm C$,$\rm P$,$\rm B$ が一直線上より

$\begin{align}\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}&=(1-u)\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}+u\overrightarrow{\mathstrut \rm OB} \\ &=\dfrac{1-u}{2}\overrightarrow{\mathstrut a}+u\overrightarrow{\mathstrut b}\end{align}$

とおく.$\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ は1次独立なので

$\begin{cases}1-t=\dfrac{1-u}{2} \\ \dfrac{9}{17}t=u\end{cases}$

解くと $t=\dfrac{17}{25}$,$u=\dfrac{9}{25}$ より

$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\dfrac{8}{25}\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{9}{25}\overrightarrow{\mathstrut b}}$

※ 今回は上の方法を共線条件を使う練習としてあげましたが,実は直線 $\rm OP$ と直線 $\rm AB$ の交点を $\rm Q$ などと設定し,チェバの定理メネラウスの定理を駆使して各辺の比を出し直接内分点の位置ベクトルで出すのが楽です.

練習問題

練習1

練習1

$\triangle \rm{ABC}$ において,辺 $\rm AB$ を $3:5$ に内分する点を $\rm R$,辺 $\rm AC$ を $9:5$ に内分する点を $\rm Q$ とする.線分 $\rm RQ$ を $7:4$ に外分する点を $\rm P$ とする.3点 $\rm B$,$\rm C$,$\rm P$ が1直線上にあることを示せ.


練習2

練習2

平行四辺形 $\rm OABC$ において,辺 $\rm OA$ を $2:1$ に内分する点を $\rm D$,辺 $\rm OC$ を $2:3$ に内分する点を $\rm E$ とする.直線 $\rm CD$ と直線 $\rm BE$ との交点を $\rm P$,直線 $\rm OP$ と辺 $\rm BC$ との交点を $\rm Q$ とする.

(1) $\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$ を $\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}$ を用いて表せ.

(2) 線分の長さの比 $\rm BQ:QC$ を求めよ.

練習1の解答

$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}=\overrightarrow{\mathstrut c}$ とする.

 $\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}$

$=\dfrac{-4\overrightarrow{\mathstrut \rm AR}+7\overrightarrow{\mathstrut \rm AQ}}{7-4}$

$=-\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{3}{8}\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{9}{14}\overrightarrow{\mathstrut c}$

$=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathstrut c}$

 $\overrightarrow{\mathstrut \rm BP}$

$=\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}-\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}$

$=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathstrut c}$

 $\overrightarrow{\mathstrut \rm BC}$

$=\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}-\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}$

$=-\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}$

これより,$\overrightarrow{\mathstrut \rm BP}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathstrut \rm BC}$ から3点 $\rm B$,$\rm C$,$\rm P$ は1直線上にある.


練習2の解答

(1)

$\rm D$,$\rm P$,$\rm C$ が一直線上より

$\begin{align}\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}&=(1-t)\overrightarrow{\mathstrut \rm OD}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OC} \\ &=\dfrac{2(1-t)}{3}\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}\end{align}$

$\rm B$,$\rm P$,$\rm E$ が一直線上より

$\begin{align}\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}&=(1-u)\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}+u\overrightarrow{\mathstrut \rm OE} \\ &=(1-u)(\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OC})+\dfrac{2}{5}u\overrightarrow{\mathstrut \rm OC} \\ &=(1-u)\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\left(1-\dfrac{3}{5}u\right)\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}\end{align}$

とおく.$\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}$ は1次独立なので

$\begin{cases}\dfrac{2(1-t)}{3}=1-u \\ t=1-\dfrac{3}{5}u\end{cases}$

解くと $t=\dfrac{4}{7}$,$u=\dfrac{5}{7}$ より

$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\dfrac{2}{7}\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\dfrac{4}{7}\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}}$


(2)

$\rm O$,$\rm P$,$\rm Q$ が一直線上より

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OQ}=x\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\dfrac{2x}{7}\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\dfrac{4x}{7}\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}$

$\rm B$,$\rm Q$,$\rm C$ が一直線上より

$\begin{align}\overrightarrow{\mathstrut \rm OQ}&=(1-y)\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}+y\overrightarrow{\mathstrut \rm OC} \\ &=(1-y)(\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OC})+y\overrightarrow{\mathstrut \rm OC} \\ &=(1-y)\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}\end{align}$

とおく.$\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}$ は次独立なので

$\begin{cases}\dfrac{2x}{7}=1-u \\ \dfrac{4x}{7}=1\end{cases}$

解くと $x=\dfrac{7}{4}$,$y=\dfrac{1}{2}$ より

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}$

これより $\rm BQ:QC=\boldsymbol{1:1}$

※ 今回は上の方法を共線条件を使う練習としてあげましたが,実は補助線を引いて相似の三角形の組を考えれば $\rm EP:PB$ が出てしまいますし,メネラウスの定理を使えば(2)も簡単に出てしまいます.しかし初等幾何的考察に頼らず機械的に計算できるのがベクトルのいいところです.

例題と練習問題(空間ベクトル)

例題

例題

3点 ${\rm A}(3, 1, 2)$,${\rm B}(−4, 2, 3)$,${\rm C}(p, −4, q)$ が一直線上にあるとき,実数 $p$,$q$ の値を求めよ.


講義

3点の中から2点選んでベクトルを作り,それらが実数倍の関係になっていること(共線条件)を適用すればOKです.


解答

$\rm A$,$\rm B$,$\rm C$ が一直線上より

$\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}=t\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}$

とおける.

$\begin{pmatrix}p-3 \\ -5 \\ q-2\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-7 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$

$\therefore \ t=-5$,$\boldsymbol{p=38,q=-3}$

※ 後に扱う3次元空間における直線の出し方で直線 $\rm AB$ を出し,$\rm C$ を通してもOKです.

練習問題

練習1

3点 ${\rm A}(-2, 1, -1)$,${\rm B}(1, 3, 2)$,${\rm C}(7, p, q)$ が一直線上にあるとき,実数 $p$,$q$ の値を求めよ.


練習2

練習2

四面体 $\rm OABC$ の辺 $\rm AB$, $\rm OC$, $\rm BC$, $\rm OA$ の中点をそれぞれ $\rm L$, $\rm M$, $\rm N$, $\rm P$ とし,線分 $\rm LM$ の中点を $\rm Q$ とする.このとき,3点 $\rm P$, $\rm Q$, $\rm N$ は一直線上にあることを示せ.

練習1の解答

$\rm A$,$\rm B$,$\rm C$ が一直線上より

$\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}=t\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}$

とおける.

$\begin{pmatrix}9 \\ p-1 \\ q+1\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$

$\therefore \ t=3$,$\boldsymbol{p=7,q=8}$

3次元空間における直線の出し方の練習問題と同じ直線です.


練習2の解答

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}=\overrightarrow{\mathstrut c}$ とする.

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OQ}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OL}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OM}}{2}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{\mathstrut c}$

 $\overrightarrow{\mathstrut \rm PQ}$

$=\overrightarrow{\mathstrut \rm OQ}-\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$

$=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{\mathstrut c}$

 $\overrightarrow{\mathstrut \rm PN}$

$=\overrightarrow{\mathstrut \rm ON}-\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$

$=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut c}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut a}$

これより,$\overrightarrow{\mathstrut \rm PN}=2\overrightarrow{\mathstrut \rm PQ}$ から3点 $\rm P$,$\rm Q$,$\rm N$ は1直線上にある.