位置ベクトル
平面，空間ベクトル(教科書範囲) ★★
平面，空間ベクトル共通ページです．
位置ベクトルに関して一通り扱います．
平面ベクトル，空間ベクトルともに概念は同じです．平面ベクトル勉強中の場合は1〜4章のみご参照ください．
位置ベクトル(平面，空間ベクトル共通)
ベクトルは場所が不問であるのが特徴でしたが，始点を固定すれば，終点の位置とベクトルが1対1対応します．
ここで始点を原点に指定したもの，ベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$ を点 $\rm P$ の位置ベクトルといいます．要は位置 $\rm P$ を決めると位置ベクトルは $\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$ と決まります．
位置ベクトルが $\overrightarrow{\mathstrut p}$ である点 $\rm P$ を ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ で表します．
内分点，外分点の位置ベクトル(平面，空間ベクトル共通)
位置でベクトルを表現できるようになったので，内分点，外分点の位置ベクトルの公式を紹介します．
内分点の位置ベクトル
2点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$，${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$ を結ぶ線分 $\rm AB$ を $m:n$ に内分する点を ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ とすると
$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m+n}}$
証明
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}$
$=\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{m}{m+n}(\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}-\overrightarrow{\mathstrut \rm OA})$
$=\dfrac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m+n}$
外分点の位置ベクトル
2点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$，${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$ を結ぶ線分 $\rm AB$ を $m:n$ に外分する点を ${\rm Q}(\overrightarrow{\mathstrut q})$ とすると
$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut q}=\dfrac{-n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m-n}}$
※ 上の図は $m>n$ のときですが，$m<n$ の場合も同じです．
証明
$m>n$，$m<n$ いずれの場合も
$\dfrac{1}{n}\overrightarrow{\mathstrut \rm QB}=\dfrac{1}{m}\overrightarrow{\mathstrut \rm QA}$
$\Longleftrightarrow \ m\overrightarrow{\mathstrut \rm QB}=n\overrightarrow{\mathstrut \rm QA}$
$\Longleftrightarrow \ m(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut q})=n(\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut q})$
$\overrightarrow{\mathstrut q}$ について解くと
$\overrightarrow{\mathstrut q}=\dfrac{-n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m-n}$
内分点と外分点は数学Ⅱの図形と方程式でも登場しますが，ベクトルだと包括的に扱うことができて便利ですね．
重心の位置ベクトル(平面，空間ベクトル共通)
重心の定義と性質をふまえ，重心の位置ベクトルを紹介します．証明も見て理解しておくのがオススメです．
重心の位置ベクトル
3点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$，${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$，${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$ を頂点とする $\triangle \rm ABC$ の重心を ${\rm G}(\overrightarrow{\mathstrut g})$ とすると
$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut g}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}{3}}$
証明
線分 $\rm BC$ の中点を $\rm M$ とする．
$\overrightarrow{\mathstrut g}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OG}$
$=\dfrac{1\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+2\cdot\overrightarrow{\mathstrut \rm OM}}{2+1}$ ← $\rm G$ は $\rm AM$ を $2:1$ に内分
$=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+2\cdot\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}{2}}{3}$
$=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}{3}$
つまり3頂点の位置ベクトルの平均になりますね．
例題と練習問題(平面ベクトル)
例題
例題
(1)2点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$，${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$ について，線分 $\rm AB$ を次のように分ける点の位置ベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$ を用いて表せ．
(ⅰ) $2:7$ に内分する点
(ⅱ) $5:2$ に外分する点
(2) 3点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$，${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$，${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$ を頂点とする $\triangle {\rm ABC}$ の重心を $\rm G$ とする．線分 $\rm GC$ を $1:2$ に内分する点 $\rm P$ の位置ベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ を $\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$，$\overrightarrow{\mathstrut c}$ を用いて表せ．
(3) $\triangle {\rm ABC}$ の内部の点 $\rm P$ が $2\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}+3\overrightarrow{\mathstrut \rm BP}+4\overrightarrow{\mathstrut \rm CP}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$ を満たしている．点 $\rm P$ はどのような位置にあるか．
講義
(1) 公式を使うだけです．
(2) ${\rm G}(\overrightarrow{\mathstrut g})$ とすれば，$\overrightarrow{\mathstrut g}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}{3}$ です．さらに内分点の公式を使います．
(3) 高校の定期試験で頻出の問題です．すべて $\boldsymbol{\rm A}$ から始まるベクトルに変形するのがオススメです．
解答
(1)
(ⅰ) $\dfrac{7\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut b}}{2+7}=\boldsymbol{\dfrac{7\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut b}}{9}}$
(ⅱ) $\dfrac{-2\overrightarrow{\mathstrut a}+5\overrightarrow{\mathstrut b}}{5-2}=\boldsymbol{\dfrac{-2\overrightarrow{\mathstrut a}+5\overrightarrow{\mathstrut b}}{3}}$
(2)
${\rm G}(\overrightarrow{\mathstrut g})$ とすると，$\overrightarrow{\mathstrut g}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}{3}$ より
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{2\overrightarrow{\mathstrut g}+\overrightarrow{\mathstrut c}}{1+2}=\boldsymbol{\dfrac{2\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut b}+5\overrightarrow{\mathstrut c}}{9}}$
(3)
$2\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}+3\overrightarrow{\mathstrut \rm BP}+4\overrightarrow{\mathstrut \rm CP}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$
$\Longleftrightarrow \ 2\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}+3(\color{red}{\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}-\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}})+4(\color{red}{\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}-\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}})=\overrightarrow{\mathstrut 0}$
$\Longleftrightarrow \ 9\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=3\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+4\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}$
$\Longleftrightarrow \ \overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=\dfrac{3\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+4\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}}{9}$
$\Longleftrightarrow \ \overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=\dfrac{7}{9}\cdot\dfrac{3\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+4\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}}{4+3}$
線分 $\rm BC$ を $4:3$ に内分する点を $\rm D$ とすれば
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=\dfrac{7}{9}\overrightarrow{\mathstrut \rm AD}$
点 $\rm P$ は線分 $\boldsymbol{\rm BC}$ を $\boldsymbol{4:3}$ に内分する点を $\boldsymbol{\rm D}$ としたとき，線分 $\boldsymbol{\rm AD}$ を $\boldsymbol{7:2}$ に内分する点
練習問題
練習
$\triangle {\rm ABC}$ の内部の点 $\rm P$ が $5\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}+3\overrightarrow{\mathstrut \rm BP}+7\overrightarrow{\mathstrut \rm CP}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$ を満たしている．
(1) 点 $\rm P$ はどのような位置にあるか．
(2) $\triangle \rm{ABP}:\triangle \rm{BCP}:\triangle \rm{CAP}$ を求めよ．
練習の解答
(1)
$5\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}+3\overrightarrow{\mathstrut \rm BP}+7\overrightarrow{\mathstrut \rm CP}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$
$\Longleftrightarrow \ 5\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}+3(\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}-\overrightarrow{\mathstrut \rm AB})+7(\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}-\overrightarrow{\mathstrut \rm AC})=\overrightarrow{\mathstrut 0}$
$\Longleftrightarrow \ 15\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=3\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+7\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}$
$\Longleftrightarrow \ \overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=\dfrac{3\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+7\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}}{15}$
$\Longleftrightarrow \ \overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+7\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}}{7+3}$
線分 $\rm BC$ を $7:3$ に内分する点を $\rm D$ とすれば
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathstrut \rm AD}$
点 $\rm P$ は線分 $\boldsymbol{\rm BC}$ を $\boldsymbol{7:3}$ に内分する点を $\boldsymbol{\rm D}$ としたとき，線分 $\boldsymbol{\rm AD}$ を $\boldsymbol{2:1}$ に内分する点
(2)
(1)で得られた辺の比から
$\triangle \rm{ABP}$ の面積を $\fbox{14}$
$\triangle \rm{BDP}$ の面積を $\fbox{7}$
$\triangle \rm{CAP}$ の面積を $\fbox{6}$
$\triangle \rm{CDP}$ の面積を $\fbox{3}$ とおける．
$\triangle \rm{ABP}:\triangle \rm{BCP}:\triangle \rm{CAP}$
$=14:7+3:6$
$=\boldsymbol{7:5:3}$
例題と練習問題(空間ベクトル)
例題
例題
四面体 $\rm OABC$ において，辺 $\rm AB$ の中点を $\rm D$，辺 $\rm BC$ を $2:1$ に内分する点を $\rm E$，$\triangle \rm{OCA}$ の重心を $\rm F$，$\triangle \rm{DEF}$ の重心を $\rm G$ とする．このとき，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OG}$ を $\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}$ で表せ．
講義
1つ1つの処理は平面と同様です．
解答
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OD}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}}{2}$
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OE}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}+2\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}}{2+1}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}+2\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}}{3}$
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OF}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OO}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}}{3}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}}{3} \ \cdots$ ※
これより
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OG}$
$=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OD}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OE}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OF}}{3}$
$=\dfrac{6\overrightarrow{\mathstrut \rm OD}+6\overrightarrow{\mathstrut \rm OE}+6\overrightarrow{\mathstrut \rm OF}}{18}$
$=\dfrac{3(\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OB})+2(\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}+2\overrightarrow{\mathstrut \rm OC})+2(\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OA})}{18}$
$=\boldsymbol{\dfrac{5\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+5\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}+6\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}}{18}}$
※ $\overrightarrow{\mathstrut \rm OF}$ を出すときに，$\rm O$，$\rm C$，$\rm F$ の位置ベクトルの平均から算出しました．
練習問題
練習
4点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$，${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$，${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$，${\rm D}(\overrightarrow{\mathstrut d})$ を頂点とする四面体について，次の問いに答えよ．
(1) $\triangle {\rm BCD}$ の重心を $\rm G'$ とし，線分 $\rm AG'$ を $3:1$ に内分する点を $\rm G$ とする．点 $\rm G$ の位置ベクトルを求めよ．
(2) 辺 $\rm AB$ の中点を $\rm L$，辺 $\rm CD$ の中点を $\rm M$ とするとき，線分 $\rm LM$ の中点は(1)の点 $\rm G$ であることを示せ．
練習の解答
(1)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OG'}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}+\overrightarrow{\mathstrut d}}{3}$
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OG}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+3\overrightarrow{\mathstrut \rm OG'}}{3+1}=\boldsymbol{\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}+\overrightarrow{\mathstrut d}}{4}}$
※ この点 $\rm G$ は四面体の重心といいます．
(2)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OL}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}}{2}$
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OM}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OD}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut c}+\overrightarrow{\mathstrut d}}{2}$
線分 $\rm LM$ の中点を $\rm N$ とすると
$\overrightarrow{\mathstrut \rm ON}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OL}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OM}}{2}=\dfrac{2\overrightarrow{\mathstrut \rm OL}+2\overrightarrow{\mathstrut \rm OM}}{4}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}+\overrightarrow{\mathstrut d}}{4}$
これより $\rm N$ と $\rm G$ は一致する．