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位置ベクトル

平面,空間ベクトル(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

平面,空間ベクトル共通ページです.

位置ベクトルに関して一通り扱います.

平面ベクトル,空間ベクトルともに概念は同じです.平面ベクトル勉強中の場合は1〜4章のみご参照ください.



位置ベクトル(平面,空間ベクトル共通)

ベクトルは場所が不問であるのが特徴でしたが,始点を固定すれば,終点の位置とベクトルが1対1対応します.

ここで始点を原点に指定したもの,ベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$ を点 $\rm P$ の位置ベクトルといいます.要は位置 $\rm P$ を決めると位置ベクトルは $\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$ と決まります.

位置ベクトルが $\overrightarrow{\mathstrut p}$ である点 $\rm P$ を ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ で表します.

内分点,外分点の位置ベクトル(平面,空間ベクトル共通)

位置でベクトルを表現できるようになったので,内分点,外分点の位置ベクトルの公式を紹介します.

ポイント

内分点の位置ベクトル

内分点の位置ベクトル

2点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$,${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$ を結ぶ線分 $\rm AB$ を $m:n$ に内分する点を ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ とすると

$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m+n}}$

証明

 $\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$

$=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}$

$=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}$

$=\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{m}{m+n}(\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}-\overrightarrow{\mathstrut \rm OA})$

$=\dfrac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m+n}$


ポイント

外分点の位置ベクトル

外分点の位置ベクトル

2点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$,${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$ を結ぶ線分 $\rm AB$ を $m:n$ に外分する点を ${\rm Q}(\overrightarrow{\mathstrut q})$ とすると

$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut q}=\dfrac{-n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m-n}}$

※ 上の図は $m>n$ のときですが,$m<n$ の場合も同じです.

証明

外分点の位置ベクトル証明1 外分点の位置ベクトル証明2

$m>n$,$m<n$ いずれの場合も

$\dfrac{1}{n}\overrightarrow{\mathstrut \rm QB}=\dfrac{1}{m}\overrightarrow{\mathstrut \rm QA}$

$\Longleftrightarrow \ m\overrightarrow{\mathstrut \rm QB}=n\overrightarrow{\mathstrut \rm QA}$

$\Longleftrightarrow \ m(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut q})=n(\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut q})$

$\overrightarrow{\mathstrut q}$ について解くと

$\overrightarrow{\mathstrut q}=\dfrac{-n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m-n}$


内分点と外分点は数学Ⅱの図形と方程式でも登場しますが,ベクトルだと包括的に扱うことができて便利ですね.

重心の位置ベクトル(平面,空間ベクトル共通)

重心の定義と性質をふまえ,重心の位置ベクトルを紹介します.証明も見て理解しておくのがオススメです.

ポイント

重心の位置ベクトル

重心の位置ベクトル

3点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$,${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$,${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$ を頂点とする $\triangle \rm ABC$ の重心を ${\rm G}(\overrightarrow{\mathstrut g})$ とすると

$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut g}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}{3}}$

証明

線分 $\rm BC$ の中点を $\rm M$ とする.

 $\overrightarrow{\mathstrut g}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OG}$

$=\dfrac{1\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+2\cdot\overrightarrow{\mathstrut \rm OM}}{2+1}$ ← $\rm G$ は $\rm AM$ を $2:1$ に内分

$=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+2\cdot\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}{2}}{3}$

$=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}{3}$


つまり3頂点の位置ベクトルの平均になりますね.

例題と練習問題(平面ベクトル)

例題

例題

(1)2点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$,${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$ について,線分 $\rm AB$ を次のように分ける点の位置ベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ を用いて表せ.

(ⅰ) $2:7$ に内分する点

(ⅱ) $5:2$ に外分する点

(2) 3点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$,${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$,${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$ を頂点とする $\triangle {\rm ABC}$ の重心を $\rm G$ とする.線分 $\rm GC$ を $1:2$ に内分する点 $\rm P$ の位置ベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ を $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut c}$ を用いて表せ.

(3) $\triangle {\rm ABC}$ の内部の点 $\rm P$ が $2\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}+3\overrightarrow{\mathstrut \rm BP}+4\overrightarrow{\mathstrut \rm CP}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$ を満たしている.点 $\rm P$ はどのような位置にあるか.


講義

(1) 公式を使うだけです.

(2) ${\rm G}(\overrightarrow{\mathstrut g})$ とすれば,$\overrightarrow{\mathstrut g}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}{3}$ です.さらに内分点の公式を使います.

(3) 高校の定期試験で頻出の問題です.すべて $\boldsymbol{\rm A}$ から始まるベクトルに変形するのがオススメです.


解答

(1)

(ⅰ) $\dfrac{7\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut b}}{2+7}=\boldsymbol{\dfrac{7\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut b}}{9}}$

(ⅱ) $\dfrac{-2\overrightarrow{\mathstrut a}+5\overrightarrow{\mathstrut b}}{5-2}=\boldsymbol{\dfrac{-2\overrightarrow{\mathstrut a}+5\overrightarrow{\mathstrut b}}{3}}$


(2)

${\rm G}(\overrightarrow{\mathstrut g})$ とすると,$\overrightarrow{\mathstrut g}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}{3}$ より

$\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{2\overrightarrow{\mathstrut g}+\overrightarrow{\mathstrut c}}{1+2}=\boldsymbol{\dfrac{2\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut b}+5\overrightarrow{\mathstrut c}}{9}}$


(3)

$2\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}+3\overrightarrow{\mathstrut \rm BP}+4\overrightarrow{\mathstrut \rm CP}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$

$\Longleftrightarrow \ 2\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}+3(\color{red}{\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}-\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}})+4(\color{red}{\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}-\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}})=\overrightarrow{\mathstrut 0}$

$\Longleftrightarrow \ 9\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=3\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+4\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}$

$\Longleftrightarrow \ \overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=\dfrac{3\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+4\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}}{9}$

$\Longleftrightarrow \ \overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=\dfrac{7}{9}\cdot\dfrac{3\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+4\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}}{4+3}$

線分 $\rm BC$ を $4:3$ に内分する点を $\rm D$ とすれば

$\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=\dfrac{7}{9}\overrightarrow{\mathstrut \rm AD}$

例題

点 $\rm P$ は線分 $\boldsymbol{\rm BC}$ を $\boldsymbol{4:3}$ に内分する点を $\boldsymbol{\rm D}$ としたとき,線分 $\boldsymbol{\rm AD}$ を $\boldsymbol{7:2}$ に内分する点

練習問題

練習

$\triangle {\rm ABC}$ の内部の点 $\rm P$ が $5\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}+3\overrightarrow{\mathstrut \rm BP}+7\overrightarrow{\mathstrut \rm CP}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$ を満たしている.

(1) 点 $\rm P$ はどのような位置にあるか.

(2) $\triangle \rm{ABP}:\triangle \rm{BCP}:\triangle \rm{CAP}$ を求めよ.

練習の解答

(1)

$5\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}+3\overrightarrow{\mathstrut \rm BP}+7\overrightarrow{\mathstrut \rm CP}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$

$\Longleftrightarrow \ 5\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}+3(\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}-\overrightarrow{\mathstrut \rm AB})+7(\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}-\overrightarrow{\mathstrut \rm AC})=\overrightarrow{\mathstrut 0}$

$\Longleftrightarrow \ 15\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=3\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+7\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}$

$\Longleftrightarrow \ \overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=\dfrac{3\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+7\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}}{15}$

$\Longleftrightarrow \ \overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+7\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}}{7+3}$

線分 $\rm BC$ を $7:3$ に内分する点を $\rm D$ とすれば

$\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathstrut \rm AD}$

点 $\rm P$ は線分 $\boldsymbol{\rm BC}$ を $\boldsymbol{7:3}$ に内分する点を $\boldsymbol{\rm D}$ としたとき,線分 $\boldsymbol{\rm AD}$ を $\boldsymbol{2:1}$ に内分する点


(2)

練習

(1)で得られた辺の比から

$\triangle \rm{ABP}$ の面積を $\fbox{14}$

$\triangle \rm{BDP}$ の面積を $\fbox{7}$

$\triangle \rm{CAP}$ の面積を $\fbox{6}$

$\triangle \rm{CDP}$ の面積を $\fbox{3}$ とおける.

 $\triangle \rm{ABP}:\triangle \rm{BCP}:\triangle \rm{CAP}$

$=14:7+3:6$

$=\boldsymbol{7:5:3}$

例題と練習問題(空間ベクトル)

例題

例題

四面体 $\rm OABC$ において,辺 $\rm AB$ の中点を $\rm D$,辺 $\rm BC$ を $2:1$ に内分する点を $\rm E$,$\triangle \rm{OCA}$ の重心を $\rm F$,$\triangle \rm{DEF}$ の重心を $\rm G$ とする.このとき,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OG}$ を $\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}$ で表せ.


講義

1つ1つの処理は平面と同様です.


解答

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OD}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}}{2}$

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OE}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}+2\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}}{2+1}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}+2\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}}{3}$

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OF}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OO}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}}{3}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}}{3} \ \cdots$ ※

これより

 $\overrightarrow{\mathstrut \rm OG}$

$=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OD}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OE}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OF}}{3}$

$=\dfrac{6\overrightarrow{\mathstrut \rm OD}+6\overrightarrow{\mathstrut \rm OE}+6\overrightarrow{\mathstrut \rm OF}}{18}$

$=\dfrac{3(\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OB})+2(\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}+2\overrightarrow{\mathstrut \rm OC})+2(\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OA})}{18}$

$=\boldsymbol{\dfrac{5\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+5\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}+6\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}}{18}}$

※ $\overrightarrow{\mathstrut \rm OF}$ を出すときに,$\rm O$,$\rm C$,$\rm F$ の位置ベクトルの平均から算出しました.

練習問題

練習

4点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$,${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$,${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$,${\rm D}(\overrightarrow{\mathstrut d})$ を頂点とする四面体について,次の問いに答えよ.

(1) $\triangle {\rm BCD}$ の重心を $\rm G'$ とし,線分 $\rm AG'$ を $3:1$ に内分する点を $\rm G$ とする.点 $\rm G$ の位置ベクトルを求めよ.

(2) 辺 $\rm AB$ の中点を $\rm L$,辺 $\rm CD$ の中点を $\rm M$ とするとき,線分 $\rm LM$ の中点は(1)の点 $\rm G$ であることを示せ.

練習の解答

(1)

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OG'}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}+\overrightarrow{\mathstrut d}}{3}$

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OG}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+3\overrightarrow{\mathstrut \rm OG'}}{3+1}=\boldsymbol{\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}+\overrightarrow{\mathstrut d}}{4}}$

※ この点 $\rm G$ は四面体の重心といいます.


(2)

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OL}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}}{2}$

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OM}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OD}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut c}+\overrightarrow{\mathstrut d}}{2}$

線分 $\rm LM$ の中点を $\rm N$ とすると

$\overrightarrow{\mathstrut \rm ON}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OL}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OM}}{2}=\dfrac{2\overrightarrow{\mathstrut \rm OL}+2\overrightarrow{\mathstrut \rm OM}}{4}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}+\overrightarrow{\mathstrut d}}{4}$

これより $\rm N$ と $\rm G$ は一致する.