重心の定義と性質
平面図形(教科書範囲) ★
三角形の五心(外心，内心，重心，垂心，傍心)の1つである重心の定義を紹介し，重心の存在証明と性質を扱います．
重心の定義
三角形の頂点とそれに向かい合う辺の中点を結ぶ線分を中線といいます．
以下に三角形の重心を定義します．
三角形の重心の定義
三角形の各中線の交点を重心という．
しかし三角形の各中線が1点で交わるのかは定かではなく，次章では重心が存在することの証明と，重心の性質を挙げます．
重心の存在証明と性質
以下の定理を同時に紹介，証明します．
重心の存在証明と性質
Ⅰ 三角形の3つの各中線は1点で交わる
Ⅱ 重心は各中線を $\boldsymbol{2:1}$ に内分する
証明
$\triangle \rm ABC$ において，中線 $\rm BE$ と $\rm CF$ の交点を $\rm G$ とする．中点連結定理より，$\triangle \rm FGE$ と $\triangle \rm CGB$ は相似比が $1:2$ で相似．すなわち
${\rm BG : GE}=2:1 \ \cdots$ ①
${\rm CG : GF}=2:1$
また中線 $\rm BE$ と $\rm AD$ の交点を $\rm H$ とする．中点連結定理より，$\triangle \rm EHD$ と $\triangle \rm BHA$ は相似比が $1:2$ で相似．すなわち
${\rm BH : HE}=2:1 \ \cdots$ ②
${\rm AH : FD}=2:1$
①，②より，$\rm G$ と $\rm H$ は中線 $\rm BE$ を同じ比に内分するので一致する．
以上より3本の中線は1点で交わり，その点はそれぞれの中線を $2:1$ で内分する．
Ⅱは暗記を推奨しますが，忘れたらメネラウスの定理で導いてもいいですね．
練習問題
練習
$\triangle \rm{ABC}$ において，点 $\rm D$，$\rm E$ はそれぞれ辺 $\rm BC$，$\rm CA$ の中点である．また，$\rm AD$ と $\rm BE$ の交点を，$\rm F$，線分 $\rm AF$ の中点を $\rm G$，$\rm CG$ と $\rm BE$ の交点を $\rm H$ とする．$\triangle \rm{FGH}:\triangle \rm{ABC}$ を求めよ．
練習の解答
$\rm F$ は $\triangle \rm{ABC}$ の中線の交点より $\triangle \rm{ABC}$ の重心．$\rm FE$ と $\rm CG$ は $\triangle \rm{AFC}$ の中線より $\rm H$ は $\triangle \rm{AFC}$ の重心．これより
$\triangle \rm{FGH}$
$=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\triangle \rm{AFE}$
$=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\triangle \rm{ABE}$
$=\dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{1}{2}\triangle \rm{ABC}$
$=\dfrac{1}{18}\triangle \rm{ABC}$
$\therefore \ \triangle \rm{FGH}:\triangle \rm{ABC}=\boldsymbol{1:18}$