外心の定義と性質
平面図形(教科書範囲) ★
三角形の五心(外心，内心，重心，垂心，傍心)の1つである外心の定義を紹介し，外心の存在証明と性質を扱います．
外心の定義
三角形の外心の定義を紹介します．数学で受験をするならば暗記必須です．
三角形の外心の定義
三角形の各辺の垂直二等分線の交点を外心という．
外心はouter center の頭文字でよく $\rm O$ で表します(本来 circumcenter というようですが，$\rm C$ だと不便です)．
次章では三角形の各辺の垂直二等分線が1点で交わること(外心が存在すること)の証明と，外心の性質を挙げます．
外心の存在証明と性質
以下の定理を同時に紹介，証明します．
外心の存在証明と性質
Ⅰ 三角形の各辺の垂直二等分線は1点で交わる
Ⅱ 外心は各頂点までの距離が等しい．すなわち外接円が引け，その中心である．
証明
$\triangle \rm ABC$ において，辺 $\rm AB$，$\rm AC$ の垂直二等分線の交点を $\rm O$ とすると
${\rm OA}={\rm OB}$，${\rm OA}={\rm OC}$
より，${\rm OB}={\rm OC}$ となるので，点 $\rm O$ は辺 $\rm BC$ の垂直二等分線上にもある．
これより，各辺の垂直二等分線は1点で交わり，さらに ${\rm OA}={\rm OB}={\rm OC}$ である．
練習問題
練習
$\triangle \rm{ABC}$ の外心を $\rm O$ とする．角 $\alpha$，$\beta$ を求めよ．
練習の解答
円周角の定理より $\angle \rm{AOB}=50\cdot 2=100^{\circ}$
$\triangle \rm{AOB}$ は二等辺三角形なので
$\beta=\dfrac{180^{\circ}-100^{\circ}}{2}=\boldsymbol{40^{\circ}}$
三角形の内角の和に関して
$(40^{\circ}+\alpha)+50^{\circ}+68^{\circ}=180^{\circ}$
$\therefore \ \alpha=\boldsymbol{22^{\circ}}$