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外心の定義と性質

平面図形(教科書範囲) 

アイキャッチ

三角形の五心(外心,内心重心,垂心,傍心)の1つである外心の定義を紹介し,外心の存在証明と性質を扱います.

外心の定義

三角形の外心の定義を紹介します.覚えていない人が多いので,数学で受験をするならば暗記必須です.

三角形の外心の定義

外心の定義

三角形の各辺の垂直二等分線の交点を外心という.


外心はouter center の頭文字でよく $\rm O$ で表します(本来 circumcenter というようですが,$\rm C$ だと不便です).

次章では三角形の各辺の垂直二等分線が1点で交わること(外心が存在すること)の証明と,外心の性質を挙げます.

外心の存在証明と性質

以下の定理を同時に紹介,証明します.

外心の存在証明と性質

Ⅰ 三角形の各辺の垂直二等分線は1点で交わる

Ⅱ 外心は各頂点までの距離が等しい.すなわち外接円が引け,その中心である.

証明

外心の存在証明と性質1

$\triangle \rm ABC$ において,辺 $\rm AB$,$\rm AC$ の垂直二等分線の交点を $\rm O$ とすると

${\rm OA}={\rm OB}$,${\rm OA}={\rm OC}$

より,${\rm OB}={\rm OC}$ となるので,点 $\rm O$ は辺 $\rm BC$ の垂直二等分線上にもある.

これより,各辺の垂直二等分線は1点で交わり,さらに ${\rm OA}={\rm OB}={\rm OC}$ である.

練習問題

練習

外心の定義と性質練習問題

$\triangle \rm{ABC}$ の外心を $\rm O$ とする.角 $\alpha$,$\beta$ を求めよ.

練習の解答

円周角の定理より $\angle \rm{AOB}=50\cdot 2=100^{\circ}$

$\triangle \rm{AOB}$ は二等辺三角形なので

$\beta=\dfrac{180^{\circ}-100^{\circ}}{2}=\boldsymbol{40^{\circ}}$

三角形の内角の和に関して

$(40^{\circ}+\alpha)+50^{\circ}+68^{\circ}=180^{\circ}$

$\therefore \ \alpha=\boldsymbol{22^{\circ}}$