内心の定義と性質
平面図形(教科書範囲) ★
三角形の五心(外心，内心，重心，垂心，傍心)の1つである内心の定義を紹介し，内心の存在証明と性質を扱います．
内心の定義
三角形の内心の定義を紹介します．覚えていない人が多いので，数学で受験をするならば暗記必須です．
三角形の内心の定義
三角形の各内角の二等分線の交点を内心という．
内心はinner center の頭文字でよく $\rm I$ で表します．
次章では三角形の各内角の二等分線が1点で交わること(内心が存在すること)の証明と，内心の性質を挙げます．
内心の存在証明と性質
以下の定理を同時に紹介，証明します．
内心の存在証明と性質
Ⅰ 三角形の各内角の二等分線は1点で交わる
Ⅱ 内心は各辺までの距離が等しい．すなわち内接円が引け，その中心である．
証明
$\triangle \rm ABC$ において，$\angle{\rm A}$，$\angle{\rm B}$ の二等分線の交点を $\rm I$ とすると
${\rm IE}={\rm IF}$，${\rm IF}={\rm ID}$
より，${\rm ID}={\rm IE}$ となるので，点 $\rm I$ は $\angle{\rm C}$ の二等分線上にもある．
これより，各内角の二等分線は1点で交わり，さらに ${\rm ID}={\rm IE}={\rm IF}$ である．
練習問題
練習
$\triangle \rm{ABC}$ の内心を $\rm I$ とする．角 $\alpha$，$\beta$ を求めよ．
練習の解答
$\rm I$ は内心より $\angle \rm{ABI}=\angle \rm{CBI}=19^{\circ}$，$\angle \rm{CAI}=\angle \rm{BAI}=20^{\circ}$ なので
$\angle \rm{ACB}=180^{\circ}-19^{\circ}\times 2-20^{\circ}\times 2=102^{\circ}$
$\therefore \ \angle \rm{ACI}=\angle \rm{BCI}=51^{\circ}$
$\alpha=51^{\circ}+19^{\circ}=\boldsymbol{70^{\circ}}$
$\beta=180^{\circ}-51^{\circ}-20^{\circ}=\boldsymbol{109^{\circ}}$