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内心の定義と性質

平面図形(教科書範囲) 

アイキャッチ

三角形の五心(外心,内心,重心,垂心,傍心)の1つである内心の定義を紹介し,内心の存在証明と性質を扱います.

内心の定義

三角形の内心の定義を紹介します.覚えていない人が多いので,数学で受験をするならば暗記必須です.

三角形の内心の定義

内心の定義

三角形の各内角の二等分線の交点を内心という.


内心はinner center の頭文字でよく $\rm I$ で表します.

次章では三角形の各内角の二等分線が1点で交わること(内心が存在すること)の証明と,内心の性質を挙げます.

内心の存在証明と性質

以下の定理を同時に紹介,証明します.

内心の存在証明と性質

Ⅰ 三角形の各内角の二等分線は1点で交わる

Ⅱ 内心は各辺までの距離が等しい.すなわち内接円が引け,その中心である.

証明

内心の存在証明と性質1

$\triangle \rm ABC$ において,$\angle{\rm A}$,$\angle{\rm B}$ の二等分線の交点を $\rm I$ とすると

${\rm IE}={\rm IF}$,${\rm IF}={\rm ID}$

より,${\rm ID}={\rm IE}$ となるので,点 $\rm I$ は $\angle{\rm C}$ の二等分線上にもある.

これより,各内角の二等分線は1点で交わり,さらに ${\rm ID}={\rm IE}={\rm IF}$ である.

練習問題

練習

内心の定義と性質練習問題

$\triangle \rm{ABC}$ の内心を $\rm I$ とする.角 $\alpha$,$\beta$ を求めよ.

練習の解答

$\rm I$ は内心より $\angle \rm{ABI}=\angle \rm{CBI}=19^{\circ}$,$\angle \rm{CAI}=\angle \rm{BAI}=20^{\circ}$ なので

$\angle \rm{ACB}=180^{\circ}-19^{\circ}\times 2-20^{\circ}\times 2=102^{\circ}$

$\therefore \ \angle \rm{ACI}=\angle \rm{BCI}=51^{\circ}$

$\alpha=51^{\circ}+19^{\circ}=\boldsymbol{70^{\circ}}$

$\beta=180^{\circ}-51^{\circ}-20^{\circ}=\boldsymbol{109^{\circ}}$