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チェバの定理

タイプ:教科書範囲 レベル: 


アイキャッチ

チェバの定理とその証明を紹介します.後半では関連問題を扱います.



チェバの定理

ポイント

チェバの定理

$\triangle \rm{ABC}$ において,※内部に任意の点 $\rm O$ をとり,直線 ${\rm AO}$,${\rm BO}$,${\rm CO}$ と,直線 ${\rm BC}$,${\rm CA}$,${\rm AB}$ との交点をそれぞれ ${\rm P}$,${\rm Q}$,${\rm R}$ とすると

チェバの定理

$\boldsymbol{\rm \dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{CQ}{QA}\cdot \dfrac{AR}{RB}=1}$

※ 点 $\rm O$ は外部にあっても成立します.


実用上は点 $\rm O$ が内部にある場合のみ覚えれば十分です.

覚え方

チェバの定理覚え方

シンプルに辺の周りを周回していくように分数を書いていきます.どこからスタートしてもOKです.

チェバの定理の証明

ポイント

チェバの定理の主な証明方法

Ⅰ:面積を利用する方法

Ⅱ:ベクトルを使う方法


Ⅰの面積を利用する方法が有名で,検定教科書でも記載されています.面積の表現に三角比が使えると記述が楽です.

ベクトル既習者は,ベクトルの共線条件を使っても包括的に証明できます.

Ⅰ:面積を利用する方法

面積を利用する方法での証明

$\rm O$ の位置を問わずして包括的に証明する.

チェバの定理の図1
チェバの定理の図2 チェバの定理の図3

$\rm \dfrac{\triangle \rm{AOB}}{\triangle \rm{AOC}}\cdot\dfrac{\triangle \rm{BOC}}{\triangle \rm{BOA}}\cdot\dfrac{\triangle \rm{COA}}{\triangle \rm{COB}}=1$

が成り立つ.左辺に関して

 $\rm \dfrac{\triangle \rm{AOB}}{\triangle \rm{AOC}}\cdot\dfrac{\triangle \rm{BOC}}{\triangle \rm{BOA}}\cdot\dfrac{\triangle \rm{COA}}{\triangle \rm{COB}}$

$\rm =\dfrac{AO \cdot BP \cdot \sin\angle{BPA}}{AO \cdot PC \cdot \sin\angle{CPA}}\cdot\dfrac{BO \cdot CQ \cdot \sin\angle{CQB}}{BO \cdot QA \cdot \sin\angle{AQB}}\cdot\dfrac{CO \cdot AR \cdot \sin\angle{ARC}}{CO \cdot RB \cdot \sin\angle{BRC}}$

$\rm =\dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{CQ}{QA}\cdot \dfrac{AR}{RB}$

以上より

$\rm \dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{CQ}{QA}\cdot \dfrac{AR}{RB}=1$

Ⅱ:ベクトルを使う方法

下に格納します.

Ⅱでの証明

チェバの定理の逆とその証明

ポイント

チェバの定理の逆

チェバの定理

$\triangle \rm{ABC}$ の辺 $\rm BC$,$\rm CA$,$\rm AB$ またはその延長上に,それぞれ点 $\rm P$,$\rm Q$,$\rm R$ があり

・点 $\rm P$,$\rm Q$,$\rm R$ の $3$ 点のうち $3$ 個または $1$ 個が辺上にある.

・$3$ 直線 $\rm AP$,$\rm BQ$,$\rm CR$ のうち $2$ 本が交わる.

・$\rm \dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{CQ}{QA}\cdot \dfrac{AR}{RB}=1$ が成り立つ.

このとき,直線 ${\rm AP}$,${\rm BQ}$,${\rm CR}$ は $1$ 点で交わる.


逆も成り立ちます.

$\rm P$,$\rm Q$,$\rm R$ の $3$ 点のうち $3$ 個または $1$ 個が辺上にあるときとは,上のチェバの定理の証明での $\rm O$ の位置を見るとこの状況が理解できると思います.

証明

チェバの定理が使えるように,一旦 $\rm P’$ という点を設定し,$\rm P’$ と $\rm P$ が同じにならざるを得ないという流れで示します.

証明

例題と練習問題

例題

例題

チェバの定理例題

上の図の $\triangle \rm{ABC}$ において,$\rm R$ は辺 $\rm AB$ の中点.辺 $\rm AC$ を $2:3$ に内分する点を $\rm Q$ とする.$\rm BP:PC$ を求めよ.


講義

チェバの定理を使うだけです.


解答

チェバの定理より

$\rm \dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{1}=1$

$\therefore \ \rm \dfrac{BP}{PC}=\dfrac{2}{3}$

これより

${\rm BP:PC}=\boldsymbol{2:3}$

練習問題

練習

チェバの定理練習

上の図の $\triangle \rm{ABC}$ において,$\rm AQ=9$,$\rm QC=8$,$\angle \rm OPB=90^{\circ}$,$\angle \rm OBP=30^{\circ}$,$\angle \rm OCP=45^{\circ}$ のとき,$\rm AR:RB$ を求めよ.

練習の解答