チェバの定理
平面図形(教科書範囲) ★
チェバの定理について扱います．
チェバの定理
チェバの定理
$\triangle \rm{ABC}$ において，※内部に任意の点 $\rm O$ をとり，直線 ${\rm AO}$，${\rm BO}$，${\rm CO}$ と，直線 ${\rm BC}$，${\rm CA}$，${\rm AB}$ との交点をそれぞれ ${\rm P}$，${\rm Q}$，${\rm R}$ とすると
$\boldsymbol{\rm \dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{CQ}{QA}\cdot \dfrac{AR}{RB}=1}$
※ 点 $\rm O$ は外部にあっても成立します．
実用上は点 $\rm O$ が内部にある場合のみ覚えれば十分です．
覚え方
シンプルに辺の周りを周回していくように分数を書いていきます．どこからスタートしてもOKです．
チェバの定理の証明
チェバの定理の主な証明方法
Ⅰ 面積を利用する方法
Ⅱ ベクトルを使う方法
Ⅰの面積を利用する方法が有名で，検定教科書でも記載されています．面積の表現に三角比が使えると記述が楽です．
ベクトル既習者は，ベクトルの共線条件を使っても包括的に証明できます．
Ⅰ 面積を利用する方法
面積を利用する方法での証明
$\rm O$ の位置を問わずして包括的に証明する．
$\rm \dfrac{\triangle \rm{AOB}}{\triangle \rm{AOC}}\cdot\dfrac{\triangle \rm{BOC}}{\triangle \rm{BOA}}\cdot\dfrac{\triangle \rm{COA}}{\triangle \rm{COB}}=1$
が成り立つ．左辺に関して
$\rm \dfrac{\triangle \rm{AOB}}{\triangle \rm{AOC}}\cdot\dfrac{\triangle \rm{BOC}}{\triangle \rm{BOA}}\cdot\dfrac{\triangle \rm{COA}}{\triangle \rm{COB}}$
$\rm =\dfrac{AO \cdot BP \cdot \sin\angle{BPA}}{AO \cdot PC \cdot \sin\angle{CPA}}\cdot\dfrac{BO \cdot CQ \cdot \sin\angle{CQB}}{BO \cdot QA \cdot \sin\angle{AQB}}\cdot\dfrac{CO \cdot AR \cdot \sin\angle{ARC}}{CO \cdot RB \cdot \sin\angle{BRC}}$
$\rm =\dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{CQ}{QA}\cdot \dfrac{AR}{RB}$
以上より
$\rm \dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{CQ}{QA}\cdot \dfrac{AR}{RB}=1$
Ⅱ ベクトルを使う方法
下に格納します．
Ⅱでの証明
ベクトルを使う方法での証明
$\rm O$ の位置を問わずして包括的に証明する．
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}=\overrightarrow{\mathstrut c}$ とし，$\overrightarrow{\mathstrut \rm AR}=s\overrightarrow{\mathstrut b}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm AQ}=t\overrightarrow{\mathstrut c}$ とおく( $s>0$，$t>0$ を考えるだけで十分)．
$\rm O$ は直線 $\rm BQ$ 上にあるので
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AO}=(1-u)\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+u\overrightarrow{\mathstrut \rm AQ}=(1-u)\overrightarrow{\mathstrut b}+ut\overrightarrow{\mathstrut c}$
とおける．また $\rm O$ は直線 $\rm RC$ 上にもあるので
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AO}=(1-v)\overrightarrow{\mathstrut \rm AR}+v\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}=(1-v)s\overrightarrow{\mathstrut b}+v\overrightarrow{\mathstrut c}$
とおける．係数比較して，$u$，$v$ について解くと
$u=\dfrac{1-s}{1-st}$，$v=\dfrac{t-st}{1-st}$
となる( $\rm O$ が存在するならば $st\neq 1$ )．元の式に代入すると
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AO}=\dfrac{s(1-t)}{1-st}\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{(1-s)t}{1-st}\overrightarrow{\mathstrut c}$
これより
${\rm BP:PC}=|(1-s)t|:|s(1-t)|=|1-s|t:s|1-t|$
から
$\rm \dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{CQ}{QA}\cdot \dfrac{AR}{RB}$
$=\dfrac{|1-s|t}{s|1-t|}\cdot \dfrac{|1-t|}{t}\cdot \dfrac{s}{|1-s|}$
$=1$
チェバの定理の逆とその証明
チェバの定理の逆
$\triangle \rm{ABC}$ の辺 $\rm BC$，$\rm CA$，$\rm AB$ またはその延長上に，それぞれ点 $\rm P$，$\rm Q$，$\rm R$ があり
・点 $\rm P$，$\rm Q$，$\rm R$ の $3$ 点のうち $3$ 個または $1$ 個が辺上にある．
・$3$ 直線 $\rm AP$，$\rm BQ$，$\rm CR$ のうち $2$ 本が交わる．
・$\rm \dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{CQ}{QA}\cdot \dfrac{AR}{RB}=1$ が成り立つ．
このとき，直線 ${\rm AP}$，${\rm BQ}$，${\rm CR}$ は $1$ 点で交わる．
逆も成り立ちます．
$\rm P$，$\rm Q$，$\rm R$ の $3$ 点のうち $3$ 個または $1$ 個が辺上にあるときとは，上のチェバの定理の証明での $\rm O$ の位置を見るとこの状況が理解できると思います．
証明
チェバの定理が使えるように，一旦 $\rm P’$ という点を設定し，$\rm P’$ と $\rm P$ が同じにならざるを得ないという流れで示します．
証明
$2$ 点 $\rm Q$，$\rm R$ がともに辺上にあるか，ともに辺の延長上にあるとする．このとき，点 $\rm P$ は辺 $\rm BC$ 上にある. $2$ 直線 $\rm BQ$，$\rm CR$ が点 $\rm O$ で交わるとすると，直線 $\rm AO$ は辺 $\rm BC$ と交わる．その交点を $\rm P’$ とする．
チェバの定理より
$\rm \dfrac{BP'}{P'C}\cdot \dfrac{CQ}{QA}\cdot \dfrac{AR}{RB}=1$
が成り立つ．また仮定より，$\rm \dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{CQ}{QA}\cdot \dfrac{AR}{RB}=1$ から
$\rm \dfrac{BP'}{P'C}=\dfrac{BP}{PC}$
が成り立つ．
$\rm P$，$\rm P’$ はともに辺 $\rm BC$ 上の点であるから，$\rm P'$ と $\rm P$ は一致する.
例題と練習問題
例題
例題
上の図の $\triangle \rm{ABC}$ において，$\rm R$ は辺 $\rm AB$ の中点．辺 $\rm AC$ を $2:3$ に内分する点を $\rm Q$ とする．$\rm BP:PC$ を求めよ．
講義
チェバの定理を使うだけです．
解答
チェバの定理より
$\rm \dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{1}=1$
$\therefore \ \rm \dfrac{BP}{PC}=\dfrac{2}{3}$
これより
${\rm BP:PC}=\boldsymbol{2:3}$
練習問題
練習
上の図の $\triangle \rm{ABC}$ において，$\rm AQ=9$，$\rm QC=8$，$\angle \rm OPB=90^{\circ}$，$\angle \rm OBP=30^{\circ}$，$\angle \rm OCP=45^{\circ}$ のとき，$\rm AR:RB$ を求めよ．
練習の解答
$\rm OP:BP=1:\sqrt{3}$，$\rm OP:PC=1:1$ より，$\rm BP:PC=\sqrt{3}:1$．
チェバの定理より
$\rm \dfrac{\sqrt{3}}{1}\cdot \dfrac{8}{9}\cdot \dfrac{AR}{RB}=1$
$\therefore \ \rm \dfrac{AR}{RB}=\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$
これより
${\rm AR:RB}=\boldsymbol{3\sqrt{3}:8}$