おいしい数学HOMEへのリンク

ベクトルの分解

平面,空間ベクトル(教科書範囲) 


アイキャッチ

平面,空間ベクトル共通ページです.

ベクトルの分解について扱います.

平面ベクトル,空間ベクトルともに概念は同じです.平面ベクトル勉強中の場合は1章,3章のみご参照ください.



ベクトルの分解(平面ベクトル)

ベクトルの演算では,ベクトルの和を扱いました.今度は逆に,ベクトルを指定したベクトルに分解したい(和で表したい)場合を考えます.

1次独立

2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ は $\overrightarrow{\mathstrut 0}$ ではなく,平行でないとき,1次独立であるといいます.

ポイント

ベクトルの分解の一意性

2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ は1次独立であるとする.このとき,任意のベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ は

$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}}$ ( $\boldsymbol{s,t}$ は実数)

と1通りに表せる.

証明

ベクトルの分解の一意性の証明(平面)

図のように $\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$,$\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ とする.点 $\rm P$ を通り直線 $\rm OB$ に平行な直線と直線 $\rm OA$ との交点を $\rm A'$,点 $\rm P$ を通り直線 $\rm OA$ に平行な直線と直線 $\rm OB$ との交点を $\rm B'$ とすると

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA'}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OB'}$

を満たす.適当な実数 $s$,$t$ を用いて,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OA'}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OB'}=t\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ と1通りに表せるので

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$

つまり

$\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}$

と1通りに表せる.


どんなベクトルも指定した2つのベクトルで表現する問題を解いていきますが,そのときに以下の公式をよく使います.

ポイント

ベクトルの分解公式

和 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm A□}+\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}}$

差 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}-\overrightarrow{\mathstrut \rm □A}}$

※ □は同じ点


ベクトルの演算で扱いましたが和は定義そのものです.差は和で $\overrightarrow{\mathstrut \rm A□}=-\overrightarrow{\mathstrut \rm □A}$ として導けますが,覚えておくと楽です.

ベクトルの分解(空間ベクトル)

空間ベクトルでも,前章と同じようにベクトルを分解可能です.

1次独立

3つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut c}$ は $\overrightarrow{\mathstrut 0}$ ではなく,どれも平行でないとき,1次独立であるといいます.

ポイント

ベクトルの分解の一意性

3つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut c}$ は1次独立であるとする.このとき,任意のベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ は

$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}+u\overrightarrow{\mathstrut c}}$ ( $\boldsymbol{s,t,u}$ は実数)

と1通りに表せる.

証明

ベクトルの分解の一意性の証明(空間)

図のように $\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$,$\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ とする.点 $\rm P$ を通り $\overrightarrow{\mathstrut c}$ に平行な直線と,$\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ で張られる平面との交点を $\rm Q$ とする.前章のベクトルの分解の一意性より,適当な実数 $s$,$t$ を用いて

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OQ}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}$

と1通りに表せる.また,適当な実数 $u$ を用いて,$\overrightarrow{\mathstrut \rm QP}=u\overrightarrow{\mathstrut c}$ と表せるので

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OQ}+\overrightarrow{\mathstrut \rm QP}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}+u\overrightarrow{\mathstrut c}$

と1通りに表せる.


前章のベクトルの分解公式は空間でも適用できます.

例題と練習問題(平面ベクトル)

例題

例題

例題(平面)

上の図のような正六角形 $\rm ABCDEF$ において,線分 $\rm CD$ の中点を $\rm M$ とする.$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm AF}=\overrightarrow{\mathstrut f}$ としたとき,次のベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut f}$で表せ.

(1) $\overrightarrow{\mathstrut \rm AE}$

(2) $\overrightarrow{\mathstrut \rm MF}$


講義

ベクトルの分解公式

和 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm A□}+\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}}$

差 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}-\overrightarrow{\mathstrut \rm □A}}$

を駆使して解いていきます.


解答

(1)

 $\overrightarrow{\mathstrut \rm AE}$

$=\overrightarrow{\mathstrut \rm A□}+\overrightarrow{\mathstrut \rm □E}$ ←

$=\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+\overrightarrow{\mathstrut \rm BE}$ ←□に $\rm B$

$=\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+2\overrightarrow{\mathstrut \rm BO}$

$=\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut b}+2\overrightarrow{\mathstrut f}}$


(2)

 $\overrightarrow{\mathstrut \rm MF}$

$=\overrightarrow{\mathstrut \rm □F}-\overrightarrow{\mathstrut \rm □M}$ ←$\rm A$ から始めるベクトルにしたいので差

$=\overrightarrow{\mathstrut \rm AF}-\overrightarrow{\mathstrut \rm AM}$ ←□に $\rm A$

$=\overrightarrow{\mathstrut f}-(\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+\overrightarrow{\mathstrut \rm BO}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}+\overrightarrow{\mathstrut \rm CM})$ ←しりとりのように繋げて分解

$=\overrightarrow{\mathstrut f}-\left(\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut f}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut f}\right)$

$=\boldsymbol{-2\overrightarrow{\mathstrut b}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut f}}$

※ 上の答案はあくまで一案です.人によって途中過程がかなり異なります.自分の解きやすいように変形してください.

練習問題

練習

練習(平面)

上の図のような正六角形 $\rm ABCDEF$ において,線分 $\rm DE$ の中点を $\rm M$,線分 $\rm BO$ の中点を $\rm N$とする.$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm AF}=\overrightarrow{\mathstrut f}$ としたとき,次のベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut f}$で表せ.

(1) $\overrightarrow{\mathstrut \rm AD}$

(2) $\overrightarrow{\mathstrut \rm NM}$

解答

(1)

 $\overrightarrow{\mathstrut \rm AD}$

$=2\overrightarrow{\mathstrut \rm AO}$

$=2(\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+\overrightarrow{\mathstrut \rm BO})$

$=\boldsymbol{2\overrightarrow{\mathstrut b}+2\overrightarrow{\mathstrut f}}$


(2)

 $\overrightarrow{\mathstrut \rm NM}$

$=\overrightarrow{\mathstrut \rm NE}+\overrightarrow{\mathstrut \rm EM}$

$=\boldsymbol{\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathstrut f}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut b}}$


ちなみに大学入試では正五角形の分解の問題をよく見ますが,黄金三角形の知識があると解答しやすいです.

例題と練習問題(空間ベクトル)

例題

例題

例題(空間)

上の図のような立方体 $\rm ABCD-EFGH$ において,線分 $\rm GH$ の中点を $\rm M$ とする.$\overrightarrow{\mathstrut \rm FB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm FE}=\overrightarrow{\mathstrut e}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm FG}=\overrightarrow{\mathstrut g}$ としたとき,次のベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut e}$,$\overrightarrow{\mathstrut g}$ で表せ.

(1) $\overrightarrow{\mathstrut \rm FD}$

(2) $\overrightarrow{\mathstrut \rm BM}$


講義

平面と同様にベクトルの分解公式

和 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm A□}+\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}}$

差 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}-\overrightarrow{\mathstrut \rm □A}}$

を駆使して解いていきます.


解答

(1)

 $\overrightarrow{\mathstrut \rm FD}$

$=\overrightarrow{\mathstrut \rm FB}+\overrightarrow{\mathstrut \rm BA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm AD}$

$=\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut e}+\overrightarrow{\mathstrut g}}$


(2)

 $\overrightarrow{\mathstrut \rm BM}$

$=\overrightarrow{\mathstrut \rm FM}-\overrightarrow{\mathstrut \rm FB}$

$=\overrightarrow{\mathstrut \rm FG}+\overrightarrow{\mathstrut \rm GM}-\overrightarrow{\mathstrut b}$

$=\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut g}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut e}-\overrightarrow{\mathstrut b}}$

練習問題

練習

練習(空間)

上の図のような平行六面体 $\rm ABCD-EFGH$ において,線分 $\rm GH$ の中点を $\rm M$ とする.$\overrightarrow{\mathstrut \rm BA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm BC}=\overrightarrow{\mathstrut c}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm BF}=\overrightarrow{\mathstrut f}$ としたとき,次のベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut c}$,$\overrightarrow{\mathstrut f}$ で表せ.

(1) $\overrightarrow{\mathstrut \rm AG}$

(2) $\overrightarrow{\mathstrut \rm MB}$

解答

(1)

 $\overrightarrow{\mathstrut \rm AG}$

$=\overrightarrow{\mathstrut \rm BG}-\overrightarrow{\mathstrut \rm BA}$

$=\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut f}+\overrightarrow{\mathstrut c}-\overrightarrow{\mathstrut a}}$


(2)

 $\overrightarrow{\mathstrut \rm MB}$

$=-\overrightarrow{\mathstrut \rm BM}$

$=-(\overrightarrow{\mathstrut \rm BF}+\overrightarrow{\mathstrut \rm FG}+\overrightarrow{\mathstrut \rm GM})$

$=\boldsymbol{-\overrightarrow{\mathstrut f}-\overrightarrow{\mathstrut c}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut a}}$