ベクトルの分解
平面，空間ベクトル(教科書範囲) ★
平面，空間ベクトル共通ページです．
ベクトルの分解について扱います．
平面ベクトル，空間ベクトルともに概念は同じです．平面ベクトル勉強中の場合は1章，3章のみご参照ください．
ベクトルの分解(平面ベクトル)
ベクトルの演算では，ベクトルの和を扱いました．今度は逆に，ベクトルを指定したベクトルに分解したい(和で表したい)場合を考えます．
1次独立
2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$ は $\overrightarrow{\mathstrut 0}$ ではなく，平行でないとき，1次独立であるといいます．
ポイント
ベクトルの分解の一意性
2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$ は1次独立であるとする．このとき，任意のベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ は
$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}}$ ( $\boldsymbol{s，t}$ は実数)
と1通りに表せる．
証明
図のように $\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$，$\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ とする．点 $\rm P$ を通り直線 $\rm OB$ に平行な直線と直線 $\rm OA$ との交点を $\rm A'$，点 $\rm P$ を通り直線 $\rm OA$ に平行な直線と直線 $\rm OB$ との交点を $\rm B'$ とすると
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA'}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OB'}$
を満たす．適当な実数 $s$，$t$ を用いて，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OA'}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OB'}=t\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ と1通りに表せるので
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$
つまり
$\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}$
と1通りに表せる．
どんなベクトルも指定した2つのベクトルで表現する問題を解いていきますが，そのときに以下の公式をよく使います．
ポイント
ベクトルの分解公式
和 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm A□}+\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}}$
差 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}-\overrightarrow{\mathstrut \rm □A}}$
※ □は同じ点
ベクトルの演算で扱いましたが和は定義そのものです．差は和で $\overrightarrow{\mathstrut \rm A□}=-\overrightarrow{\mathstrut \rm □A}$ として導けますが，覚えておくと楽です．
ベクトルの分解(空間ベクトル)
空間ベクトルでも，前章と同じようにベクトルを分解可能です．
1次独立
3つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$，$\overrightarrow{\mathstrut c}$ は $\overrightarrow{\mathstrut 0}$ ではなく，どれも平行でないとき，1次独立であるといいます．
ポイント
ベクトルの分解の一意性
3つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$，$\overrightarrow{\mathstrut c}$ は1次独立であるとする．このとき，任意のベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ は
$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}+u\overrightarrow{\mathstrut c}}$ ( $\boldsymbol{s，t，u}$ は実数)
と1通りに表せる．
証明
図のように $\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$，$\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ とする．点 $\rm P$ を通り $\overrightarrow{\mathstrut c}$ に平行な直線と，$\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$ で張られる平面との交点を $\rm Q$ とする．前章のベクトルの分解の一意性より，適当な実数 $s$，$t$ を用いて
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OQ}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}$
と1通りに表せる．また，適当な実数 $u$ を用いて，$\overrightarrow{\mathstrut \rm QP}=u\overrightarrow{\mathstrut c}$ と表せるので
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OQ}+\overrightarrow{\mathstrut \rm QP}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}+u\overrightarrow{\mathstrut c}$
と1通りに表せる．
前章のベクトルの分解公式は空間でも適用できます．
例題と練習問題(平面ベクトル)
例題
例題
上の図のような正六角形 $\rm ABCDEF$ において，線分 $\rm CD$ の中点を $\rm M$ とする．$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm AF}=\overrightarrow{\mathstrut f}$ としたとき，次のベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut b}$，$\overrightarrow{\mathstrut f}$で表せ．
(1) $\overrightarrow{\mathstrut \rm AE}$
(2) $\overrightarrow{\mathstrut \rm MF}$
講義
ベクトルの分解公式
和 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm A□}+\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}}$
差 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}-\overrightarrow{\mathstrut \rm □A}}$
を駆使して解いていきます．
解答
(1)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AE}$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm A□}+\overrightarrow{\mathstrut \rm □E}$ ←和
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+\overrightarrow{\mathstrut \rm BE}$ ←□に $\rm B$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+2\overrightarrow{\mathstrut \rm BO}$
$=\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut b}+2\overrightarrow{\mathstrut f}}$
(2)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm MF}$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm □F}-\overrightarrow{\mathstrut \rm □M}$ ←$\rm A$ から始めるベクトルにしたいので差
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm AF}-\overrightarrow{\mathstrut \rm AM}$ ←□に $\rm A$
$=\overrightarrow{\mathstrut f}-(\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+\overrightarrow{\mathstrut \rm BO}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}+\overrightarrow{\mathstrut \rm CM})$ ←しりとりのように繋げて分解
$=\overrightarrow{\mathstrut f}-\left(\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut f}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut f}\right)$
$=\boldsymbol{-2\overrightarrow{\mathstrut b}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut f}}$
※ 上の答案はあくまで一案です．人によって途中過程がかなり異なります．自分の解きやすいように変形してください．
練習問題
練習
上の図のような正六角形 $\rm ABCDEF$ において，線分 $\rm DE$ の中点を $\rm M$，線分 $\rm BO$ の中点を $\rm N$とする．$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm AF}=\overrightarrow{\mathstrut f}$ としたとき，次のベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut b}$，$\overrightarrow{\mathstrut f}$で表せ．
(1) $\overrightarrow{\mathstrut \rm AD}$
(2) $\overrightarrow{\mathstrut \rm NM}$
解答
(1)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AD}$
$=2\overrightarrow{\mathstrut \rm AO}$
$=2(\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+\overrightarrow{\mathstrut \rm BO})$
$=\boldsymbol{2\overrightarrow{\mathstrut b}+2\overrightarrow{\mathstrut f}}$
(2)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm NM}$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm NE}+\overrightarrow{\mathstrut \rm EM}$
$=\boldsymbol{\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathstrut f}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut b}}$
ちなみに大学入試では正五角形の分解の問題をよく見ますが，黄金三角形の知識があると解答しやすいです．
例題と練習問題(空間ベクトル)
例題
例題
上の図のような立方体 $\rm ABCD-EFGH$ において，線分 $\rm GH$ の中点を $\rm M$ とする．$\overrightarrow{\mathstrut \rm FB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm FE}=\overrightarrow{\mathstrut e}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm FG}=\overrightarrow{\mathstrut g}$ としたとき，次のベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut b}$，$\overrightarrow{\mathstrut e}$，$\overrightarrow{\mathstrut g}$ で表せ．
(1) $\overrightarrow{\mathstrut \rm FD}$
(2) $\overrightarrow{\mathstrut \rm BM}$
講義
平面と同様にベクトルの分解公式
和 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm A□}+\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}}$
差 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}-\overrightarrow{\mathstrut \rm □A}}$
を駆使して解いていきます．
解答
(1)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm FD}$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm FB}+\overrightarrow{\mathstrut \rm BA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm AD}$
$=\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut e}+\overrightarrow{\mathstrut g}}$
(2)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm BM}$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm FM}-\overrightarrow{\mathstrut \rm FB}$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm FG}+\overrightarrow{\mathstrut \rm GM}-\overrightarrow{\mathstrut b}$
$=\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut g}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut e}-\overrightarrow{\mathstrut b}}$
練習問題
練習
上の図のような平行六面体 $\rm ABCD-EFGH$ において，線分 $\rm GH$ の中点を $\rm M$ とする．$\overrightarrow{\mathstrut \rm BA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm BC}=\overrightarrow{\mathstrut c}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm BF}=\overrightarrow{\mathstrut f}$ としたとき，次のベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut c}$，$\overrightarrow{\mathstrut f}$ で表せ．
(1) $\overrightarrow{\mathstrut \rm AG}$
(2) $\overrightarrow{\mathstrut \rm MB}$
解答
(1)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AG}$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm BG}-\overrightarrow{\mathstrut \rm BA}$
$=\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut f}+\overrightarrow{\mathstrut c}-\overrightarrow{\mathstrut a}}$
(2)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm MB}$
$=-\overrightarrow{\mathstrut \rm BM}$
$=-(\overrightarrow{\mathstrut \rm BF}+\overrightarrow{\mathstrut \rm FG}+\overrightarrow{\mathstrut \rm GM})$
$=\boldsymbol{-\overrightarrow{\mathstrut f}-\overrightarrow{\mathstrut c}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut a}}$