ベクトルの分解
平面,空間ベクトル(教科書範囲) ★

平面,空間ベクトル共通ページです.
ベクトルの分解について扱います.
平面ベクトル,空間ベクトルともに概念は同じです.平面ベクトル勉強中の場合は1章,3章のみご参照ください.
ベクトルの分解(平面ベクトル)
ベクトルの演算では,ベクトルの和を扱いました.今度は逆に,ベクトルを指定したベクトルに分解したい(和で表したい)場合を考えます.
1次独立
2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ は $\overrightarrow{\mathstrut 0}$ ではなく,平行でないとき,1次独立であるといいます.
ポイント
ベクトルの分解の一意性
2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ は1次独立であるとする.このとき,任意のベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ は
$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}}$ ( $\boldsymbol{s,t}$ は実数)
と1通りに表せる.
証明

図のように $\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$,$\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ とする.点 $\rm P$ を通り直線 $\rm OB$ に平行な直線と直線 $\rm OA$ との交点を $\rm A'$,点 $\rm P$ を通り直線 $\rm OA$ に平行な直線と直線 $\rm OB$ との交点を $\rm B'$ とすると
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA'}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OB'}$
を満たす.適当な実数 $s$,$t$ を用いて,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OA'}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OB'}=t\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ と1通りに表せるので
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$
つまり
$\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}$
と1通りに表せる.
どんなベクトルも指定した2つのベクトルで表現する問題を解いていきますが,そのときに以下の公式をよく使います.
ポイント
ベクトルの分解公式
和 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm A□}+\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}}$
差 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}-\overrightarrow{\mathstrut \rm □A}}$
※ □は同じ点
ベクトルの演算で扱いましたが和は定義そのものです.差は和で $\overrightarrow{\mathstrut \rm A□}=-\overrightarrow{\mathstrut \rm □A}$ として導けますが,覚えておくと楽です.
ベクトルの分解(空間ベクトル)
空間ベクトルでも,前章と同じようにベクトルを分解可能です.
1次独立
3つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut c}$ は $\overrightarrow{\mathstrut 0}$ ではなく,どれも平行でないとき,1次独立であるといいます.
ポイント
ベクトルの分解の一意性
3つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut c}$ は1次独立であるとする.このとき,任意のベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ は
$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}+u\overrightarrow{\mathstrut c}}$ ( $\boldsymbol{s,t,u}$ は実数)
と1通りに表せる.
証明

図のように $\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$,$\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ とする.点 $\rm P$ を通り $\overrightarrow{\mathstrut c}$ に平行な直線と,$\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ で張られる平面との交点を $\rm Q$ とする.前章のベクトルの分解の一意性より,適当な実数 $s$,$t$ を用いて
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OQ}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}$
と1通りに表せる.また,適当な実数 $u$ を用いて,$\overrightarrow{\mathstrut \rm QP}=u\overrightarrow{\mathstrut c}$ と表せるので
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OQ}+\overrightarrow{\mathstrut \rm QP}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}+u\overrightarrow{\mathstrut c}$
と1通りに表せる.
前章のベクトルの分解公式は空間でも適用できます.
例題と練習問題(平面ベクトル)
例題
例題

上の図のような正六角形 $\rm ABCDEF$ において,線分 $\rm CD$ の中点を $\rm M$ とする.$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm AF}=\overrightarrow{\mathstrut f}$ としたとき,次のベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut f}$で表せ.
(1) $\overrightarrow{\mathstrut \rm AE}$
(2) $\overrightarrow{\mathstrut \rm MF}$
講義
ベクトルの分解公式
和 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm A□}+\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}}$
差 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}-\overrightarrow{\mathstrut \rm □A}}$
を駆使して解いていきます.
解答
(1)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AE}$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm A□}+\overrightarrow{\mathstrut \rm □E}$ ←和
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+\overrightarrow{\mathstrut \rm BE}$ ←□に $\rm B$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+2\overrightarrow{\mathstrut \rm BO}$
$=\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut b}+2\overrightarrow{\mathstrut f}}$
(2)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm MF}$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm □F}-\overrightarrow{\mathstrut \rm □M}$ ←$\rm A$ から始めるベクトルにしたいので差
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm AF}-\overrightarrow{\mathstrut \rm AM}$ ←□に $\rm A$
$=\overrightarrow{\mathstrut f}-(\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+\overrightarrow{\mathstrut \rm BO}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}+\overrightarrow{\mathstrut \rm CM})$ ←しりとりのように繋げて分解
$=\overrightarrow{\mathstrut f}-\left(\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut f}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut f}\right)$
$=\boldsymbol{-2\overrightarrow{\mathstrut b}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut f}}$
※ 上の答案はあくまで一案です.人によって途中過程がかなり異なります.自分の解きやすいように変形してください.
練習問題
練習

上の図のような正六角形 $\rm ABCDEF$ において,線分 $\rm DE$ の中点を $\rm M$,線分 $\rm BO$ の中点を $\rm N$とする.$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm AF}=\overrightarrow{\mathstrut f}$ としたとき,次のベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut f}$で表せ.
(1) $\overrightarrow{\mathstrut \rm AD}$
(2) $\overrightarrow{\mathstrut \rm NM}$
解答
(1)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AD}$
$=2\overrightarrow{\mathstrut \rm AO}$
$=2(\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+\overrightarrow{\mathstrut \rm BO})$
$=\boldsymbol{2\overrightarrow{\mathstrut b}+2\overrightarrow{\mathstrut f}}$
(2)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm NM}$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm NE}+\overrightarrow{\mathstrut \rm EM}$
$=\boldsymbol{\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathstrut f}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut b}}$
ちなみに大学入試では正五角形の分解の問題をよく見ますが,黄金三角形の知識があると解答しやすいです.
例題と練習問題(空間ベクトル)
例題
例題

上の図のような立方体 $\rm ABCD-EFGH$ において,線分 $\rm GH$ の中点を $\rm M$ とする.$\overrightarrow{\mathstrut \rm FB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm FE}=\overrightarrow{\mathstrut e}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm FG}=\overrightarrow{\mathstrut g}$ としたとき,次のベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut e}$,$\overrightarrow{\mathstrut g}$ で表せ.
(1) $\overrightarrow{\mathstrut \rm FD}$
(2) $\overrightarrow{\mathstrut \rm BM}$
講義
平面と同様にベクトルの分解公式
和 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm A□}+\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}}$
差 $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm □B}-\overrightarrow{\mathstrut \rm □A}}$
を駆使して解いていきます.
解答
(1)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm FD}$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm FB}+\overrightarrow{\mathstrut \rm BA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm AD}$
$=\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut e}+\overrightarrow{\mathstrut g}}$
(2)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm BM}$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm FM}-\overrightarrow{\mathstrut \rm FB}$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm FG}+\overrightarrow{\mathstrut \rm GM}-\overrightarrow{\mathstrut b}$
$=\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut g}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut e}-\overrightarrow{\mathstrut b}}$
練習問題
練習

上の図のような平行六面体 $\rm ABCD-EFGH$ において,線分 $\rm GH$ の中点を $\rm M$ とする.$\overrightarrow{\mathstrut \rm BA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm BC}=\overrightarrow{\mathstrut c}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm BF}=\overrightarrow{\mathstrut f}$ としたとき,次のベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut c}$,$\overrightarrow{\mathstrut f}$ で表せ.
(1) $\overrightarrow{\mathstrut \rm AG}$
(2) $\overrightarrow{\mathstrut \rm MB}$
解答
(1)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AG}$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm BG}-\overrightarrow{\mathstrut \rm BA}$
$=\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut f}+\overrightarrow{\mathstrut c}-\overrightarrow{\mathstrut a}}$
(2)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm MB}$
$=-\overrightarrow{\mathstrut \rm BM}$
$=-(\overrightarrow{\mathstrut \rm BF}+\overrightarrow{\mathstrut \rm FG}+\overrightarrow{\mathstrut \rm GM})$
$=\boldsymbol{-\overrightarrow{\mathstrut f}-\overrightarrow{\mathstrut c}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut a}}$