接弦定理
平面図形(教科書範囲) ★
接弦定理と接弦定理の逆を扱います．
接弦定理
円周角の定理と円に内接する四角形の対角の和が基本となり，以下の定理が導けます．
接弦定理
直線 $\rm XY$ が $\triangle{\rm ABC}$ の外接円の $\rm A$ における接線とすると
$\boldsymbol{\angle{\rm ACB}=\angle{\rm YAB}}$
※ 当然 $\angle{\rm ABC}=\angle{\rm YAC}$ でもあります．
証明
(ⅰ) $\angle{\rm YAB}$ が鋭角のとき
$\rm AD$ が直径となるように $\rm D$ をおくと，円周角の定理より
$\angle{\rm ADB}$
$=180^{\circ}-90^{\circ}-\angle{\rm DAB}$
$=90^{\circ}-(90^{\circ}-\angle{\rm YAB})$
$=\angle{\rm YAB}$
円周角の定理より
$\angle{\rm ACB}=\angle{\rm ADB}$
$\therefore \ \angle{\rm ACB}=\angle{\rm YAB}$
(ⅱ) $\angle{\rm YAB}$ が直角のとき
円周角の定理より
$\angle{\rm ACB}=90^{\circ}=\angle{\rm YAB}$
(ⅲ) $\angle{\rm YAB}$ が鈍角のとき
$\rm AD$ が直径となるように $\rm D$ をおくと，円周角の定理より
$\angle{\rm ACB}$
$=180^{\circ}-\angle{\rm BDA}$ ←円に内接する四角形
$=180^{\circ}-(180^{\circ}-90^{\circ}-\angle{\rm BAD})$
$=90^{\circ}+\angle{\rm BAD}$
$=\angle{\rm YAB}$
接弦定理の逆
前章の定理は逆も成り立ちます．
接弦定理の逆
$\boldsymbol{\rm C}$ と $\boldsymbol{\rm Y}$ が直線 $\boldsymbol{\rm AB}$ に関して反対側にあり，$\boldsymbol{\angle{\rm ACB}=\angle{\rm YAB}}$ ならば，直線 $\boldsymbol{\rm AY}$ は $\boldsymbol{\triangle{\rm ABC}}$ の外接円と $\boldsymbol{\rm A}$ で接する．
証明
$\triangle{\rm ABC}$ の外接円の $\rm A$ における接線上に，直線 $\rm AB$ に関して反対側に $\rm D$ をとる．接弦定理より
$\angle{\rm ACB}=\angle{\rm DAB}$
仮定より
$\angle{\rm ACB}=\angle{\rm YAB}$
つまり $\angle{\rm DAB}=\angle{\rm YAB}$ なので，3点 $\rm Y$，$\rm D$，$\rm A$ は一直線上にある．つまり直線 $\rm AY$ は $\triangle{\rm ABC}$ の外接円の $\rm A$ における接線である．
練習問題
練習
$\rm X$ から円に向けた接線の接点を $\rm A$，$\rm C$ とする．以下の図の角 $x$ を求めよ．
練習の解答
接弦定理より
$\angle{\rm XAC}=68^{\circ}$
$\angle{\rm XCA}=68^{\circ}$
$\therefore \ x=180^{\circ}-2\times68^{\circ}=\boldsymbol{44^{\circ}}$