媒介変数表示された曲線のグラフの面積(基本編)
積分(数学Ⅲ)(入試の標準) ★★★
媒介変数表示された曲線のグラフの面積の求め方(基本編)を解説します．
基本編では，グラフの折り返しがない(1つの $x$ に 1つの $y$ が対応)素直なタイプを扱います．
折り返すタイプは応用編で扱います．
媒介変数表示された曲線のグラフの面積の求め方
媒介変数表示された曲線のグラフの面積の求め方
STEP1：媒介変数表示された曲線のグラフを書く．正負がわかれば増減表が不要な場合もあります．
STEP2：該当範囲を積分する．ほとんどの場合，媒介変数で置換積分します．グラフの折り返しの有無に注意．
※ $x=r(t)\cos t$，$y=r(t)\sin t$ という表記の場合，扇形積分という方法もあります．
当ページは基本編なので折り返し無しを扱います．
下の例題で確認していきます．
例題と練習問題
例題
例題
$t$ はすべての実数をとる．
$\begin{cases}x=t^{2}-2t \\ y=-t^{2}+1\end{cases}$
で表された曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．
講義
同じグラフを媒介変数表示された曲線のグラフの書き方の例題で扱っています．
面積を求める問題では，グラフを書くことよりも面積を求める方に注力します．
解答
(1)
$\dfrac{dx}{dt}=2t-2$，$\dfrac{dy}{dt}=-2t$ より
増減表を書くと
| $t$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\dfrac{dx}{dt}$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $x$ | ↘︎ | $0$ | ↘︎ | $-1$ | ↗︎ |
| $\dfrac{dy}{dt}$ | $+$ | $0$ | $-$ | $-$ | $-$ |
| $y$ | ↗︎ | $1$ | ↘︎ | $0$ | ↘︎ |
求める部分は以下の黄色の部分．
求める面積は
$S$
$\displaystyle =\int_{-1}^{3}y\,dx$
$\displaystyle =\int_{1}^{-1}y\dfrac{dx}{dt}\,dt$ ← $t$ での積分に置換
$\displaystyle =\int_{1}^{-1}(-t^{2}+1)(2t-2)\,dt$
$\displaystyle =2\int_{-1}^{1}(t^{2}-1)(t-1)\,dt$
$\displaystyle =2\int_{-1}^{1}(t^{3}-t^{2}-t+1)\,dt$
$\displaystyle =4\int_{0}^{1}(-t^{2}+1)\,dt$ ←偶関数・奇関数の定積分
$\displaystyle =4\left[-\dfrac{1}{3}t^{3}+t\right]_{0}^{1}$
$=\boldsymbol{\dfrac{8}{3}}$
練習問題
練習
(1)
曲線 $C:\begin{cases}x=t-\sin t \\ y=1-\cos t\end{cases}$ $(0\leqq t \leqq 2\pi)$
と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．
(2)
曲線 $C:\begin{cases}x=\cos \theta \\ y=\cos^{2} \theta\cdot \tan\dfrac{\theta}{2}\end{cases}$ $\left(-\dfrac{\pi}{2}\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$
で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．
練習の解答
(1)
$\dfrac{dx}{dt}=1-\cos t$，$\dfrac{dy}{dt}=\sin t$ より
増減表を書くと
| $t$ | $0$ | $\cdots$ | $\pi$ | $\cdots$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\dfrac{dx}{dt}$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $0$ |
| $x$ | $0$ | ↗︎ | $\pi$ | ↗︎ | $2\pi$ |
| $\dfrac{dy}{dt}$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $-$ |
| $y$ | $0$ | ↗︎ | $2$ | ↘︎ | $0$ |
グラフを書くと
求める面積は
$S$
$\displaystyle =\int_{0}^{2\pi}y\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{2\pi}y\dfrac{dx}{dt}\,dt$ ← $t$ での積分に置換
$\displaystyle =\int_{0}^{2\pi}(1-\cos t)(1-\cos t)\,dt$
$\displaystyle =\int_{0}^{2\pi}(1-2\cos t+\cos^{2}t)\,dt$
$\displaystyle =\int_{0}^{2\pi}\left(1-2\cos t+\dfrac{1+\cos2t}{2}\right)\,dt$
$\displaystyle =\left[\dfrac{3}{2}t-2\sin t+\dfrac{1}{4}\sin 2t\right]_{0}^{2\pi}$
$=\boldsymbol{3\pi}$
※サイクロイドと言われる曲線です．曲線の長さではこの曲線の長さを求めています．
(2)
$x=f(\theta)=\cos \theta$，$y=g(\theta)=\cos^{2} \theta\cdot \tan\dfrac{\theta}{2}$ とすると，$f(-\theta)=f(\theta)$，$g(-\theta)=-g(\theta)$ より，$C$ は $x$ 軸に関して対称．
$0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ のとき，$y=\cos^{2} \theta\cdot \tan\dfrac{\theta}{2}\geqq0$ より，求める面積は以下の黄色の部分．
$x$ 軸と $C$ で囲まれた部分の面積が $\dfrac{S}{2}$ であるので
$\dfrac{S}{2}$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}y\,dx$
$\displaystyle =\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}y\dfrac{dx}{d\theta}\,d\theta$ ← $\theta$ での積分に置換
$\displaystyle =\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\cos^{2} \theta\cdot \tan\dfrac{\theta}{2}(-\sin\theta)\,d\theta$
$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2} \theta\cdot \dfrac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}}2\sin\dfrac{\theta}{2}\cos\dfrac{\theta}{2}\,d\theta$
$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2} \theta\cdot 2\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}\,d\theta$
$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2} \theta(1-\cos\theta)\,d\theta$
$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos^{2} \theta-\cos^{3}\theta)\,d\theta \ \cdots$ ☆
$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left\{\dfrac{1+\cos2\theta}{2}-(1-\sin^{2}\theta)\cos\theta\right\}\,d\theta$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{2}\theta+\dfrac{1}{4}\sin2\theta-\sin\theta+\dfrac{1}{3}\sin^{3}\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{2}{3}$
$\therefore \ S=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{4}{3}}$
※ ☆でウォリス積分を使うのもありですね．