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曲線の長さ

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

このページでは,曲線の長さ(弧長)を求める公式を紹介し,証明も厳密なものを含めて載せています.

数Ⅲ積分の教科書の終盤に出てきます.演習不足になりがちなので,当ページの問題で公式を使い慣れましょう.





曲線の長さを求める公式とその証明

ポイント

曲線の長さを求める公式

(ⅰ) 媒介変数表示のとき

曲線 $x=f(t)$,$y=g(t)$ $(a \leqq t \leqq b)$ の長さは

$\displaystyle \boldsymbol{\color{red}{\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt}}$

(ⅱ) 陽関数表示のとき

曲線 $y=f(x)$ $(a \leqq x \leqq b)$ の長さは,(ⅰ)で $x=t$,$y=f(t)$ とすれば

$\displaystyle \boldsymbol{\color{red}{\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left\{f'(x)\right\}^{2}}\,dx}}$

(ⅲ) 極座標表示のとき

曲線 $r=f(\theta)$ $(\alpha \leqq \theta \leqq \beta)$ の長さは

$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^{2}+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta$


ほぼすべての人が(ⅰ)(ⅱ)のみ暗記が必要ですが,(ⅲ)は覚えなくていいと思います(出題頻度が低いですし,記述式では減点の可能性があります.).



(ⅰ)の簡単な証明

厳密に証明しようとすると高度になり長くなるので,簡単な証明です.

(ⅰ)の簡単な証明

簡単な証明

$t$ が $\Delta t$ 増えたときの $x$ の増分を $\Delta x$,$y$ の増分を $\Delta y$ とすると,曲線の長さの増分 $\Delta s$ は,$\Delta t$ が十分小さいとき,斜辺以外の辺が $\Delta x$,$\Delta y$ の直角三角形の斜辺で近似できるので

$\Delta s \fallingdotseq \sqrt{\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\Delta y\right)^{2}}$

$\Longleftrightarrow \dfrac{\Delta s}{\Delta t} \fallingdotseq \sqrt{\left(\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\right)^{2}+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta t}\right)^{2}}$

$\Delta t \to 0$ とすると

$\dfrac{ds}{dt} =\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2}}$

これを偏角が $t=a$ から $t=b$ まで積分すると

$\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt$



(ⅰ)の厳密な証明

厳密に証明しました.大学レベルを含むので下に格納しました.

厳密な証明



(ⅲ)の証明

公式自体が全員向けでないので,下に格納しました.公式を丸暗記しなくとも,試験中に導くことで対処してもいいですね.

(ⅲ)の証明




例題と練習問題

例題

例題

媒介変数表示された曲線 $C:x=t-\sin t$,$y=1-\cos t$ $(0\leqq t \leqq 2\pi)$ の曲線の長さを求めよ.


講義

当サイトでも度々扱っているサイクロイドという曲線です.グラフの書き方は媒介変数表示の曲線のグラフの書き方で扱っていますが,曲線の長さを求める上で必ずしもグラフを書く必要はありません.


解答

$\dfrac{dx}{dt}=1-\cos t$,$\dfrac{dy}{dt}=\sin t$ より

求める曲線の長さを $L$ とすると

 $L$

$\displaystyle =\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt$

$\displaystyle =\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left(1-\cos t\right)^{2}+\left(\sin t\right)^{2}}\,dt$

$\displaystyle =\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2-2\cos t}\,dt$

$\displaystyle =\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2-2\cos 2\cdot\dfrac{t}{2}}\,dt$

$\displaystyle =\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2-2\left(1-2\sin^{2}\dfrac{t}{2}\right)}\,dt$

$\displaystyle =\int_{0}^{2\pi}\sqrt{4\sin^{2}\dfrac{t}{2}}\,dt$

$\displaystyle =\int_{0}^{2\pi}\left|2\sin\dfrac{t}{2}\right|\,dt$ ← $\sqrt{A^{2}}=|A|$

$\displaystyle =\int_{0}^{2\pi}2\sin\dfrac{t}{2}\,dt$ ← $0\leqq t \leqq 2\pi$ で $\sin\dfrac{t}{2}\geqq0$

$\displaystyle =\left[-4\cos\dfrac{t}{2}\right]_{0}^{2\pi}$

$=\boldsymbol{8}$

※ちなみにグラフは以下のようになります.

例題サイクロイド


練習問題

練習

(1) 曲線 $y=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ $(-1\leqq x \leqq 1)$ の長さ $L$ を求めよ.

(2) 媒介変数表示された曲線 $C:x=(1-\cos \theta)\cos \theta$,$y=(1-\cos \theta)\sin \theta$ $(0\leqq \theta \leqq \pi)$ の長さ $L$ を求めよ.

練習の解答



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