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媒介変数表示された曲線のグラフの書き方

タイプ:入試の標準 レベル:★★ 


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このページでは,媒介変数表示された曲線のグラフの書き方を解説します.






媒介変数表示された曲線のグラフの書き方

ポイント

媒介変数表示された曲線のグラフの書き方

(ⅰ) $x$ と $y$ を媒介変数でそれぞれ微分する.

(ⅱ) $x$ と $y$ の媒介変数での増減表(5行の増減表)を書く.

(ⅲ) 増減表を元にグラフを書く.


下の例題で確認していきます.




例題と練習問題

例題

例題

$t$ はすべての実数をとる.$x=t^{2}-2t$,$y=-t^{2}+1$ で表された曲線のグラフの概形を書け.


講義

その気になれば $t$ を消去できますが,大変な式が出てくるので,媒介変数の微分で対処します.


解答

(1)

$\dfrac{dx}{dt}=2t-2$,$\dfrac{dy}{dt}=-2t$ より

増減表を書くと

$t$ $\cdots$ $0$ $\cdots$ $1$ $\cdots$
$\dfrac{dx}{dt}$ $-$ $-$ $-$ $0$ $+$
$x$ ↘︎ $0$ ↘︎ $-1$ ↗︎
$\dfrac{dy}{dt}$ $+$ $0$ $-$ $-$ $-$
$y$ ↗︎ $1$ ↘︎ $0$ ↘︎

これを元に,$x$ 切片( $t^{2}-2t=0 \Longleftrightarrow t=0,2$ のとき),$y$ 切片( $-t^{2}+1=0 \Longleftrightarrow t=-1,1$ のとき)を考慮してグラフを書くと

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※増減表の書き方に決まりはなく,先生や参考書によって色々です.$x$ の増減表と $y$ の増減表をいつも通り続けて書くのがわかりやすいと思います.

※グラフの増減は$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ の符号から判断します.

※フリーハンドだと綺麗に図を書くのは難しいですが,極値や切片など代表的な値はできるだけ書きましょう.



練習問題

練習

(1) 媒介変数表示された曲線 $C:x=t-\sin t$,$y=1-\cos t$ $(0\leqq t \leqq 2\pi)$ のグラフの概形を書け.

(2) 媒介変数表示された曲線 $C:x=e^{-t}\cos t$,$y=e^{-t}\sin t$ $(0\leqq t \leqq \pi)$ のグラフの概形を書け.

練習の解答



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