証明

面積 $S$ の，偏角が十分小さい $\Delta \theta$ 増えたときの微小な増分 $\Delta S$ は，半径が $f(\theta)$，中心角が $\Delta \theta$ の扇型の面積で近似できるので

$\Delta \theta \to 0$ とすると

$\dfrac{dS}{d\theta} =\dfrac{1}{2}\left\{f(\theta)\right\}^{2}$

これを偏角が $\theta=\alpha$ から $\theta=\beta$ まで積分すると

$\displaystyle \boldsymbol{\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}\left\{f(\theta)\right\}^{2}\,d\theta}$

講義

1997年の京大の問題とほぼ同じですが，範囲を変えました．

通常の方法と，扇形積分を使う方法の2通りで書きます．記述式を想定し，扇形積分の方は証明も付けています．

通常の方法の解答

$\dfrac{dx}{dt}=-e^{-t}\cos t-e^{-t}\sin t$

　　$=-e^{-t}(\cos t+\sin t)$

　　$=-\sqrt{2}e^{-t}\sin\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right)$

$\dfrac{dy}{dt}=-e^{-t}\sin t+e^{-t}\cos t$

　　$=-e^{-t}(\sin t-\cos t)$

　　$=-\sqrt{2}e^{-t}\sin\left(t-\dfrac{\pi}{4}\right)$

増減表は

$t$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\cdots$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\cdots$	$\pi$
$\dfrac{dx}{dt}$		$-$		$-$	$0$	$+$
$x$	$1$	↘︎		↘︎	$x_{m}$	↗︎	$-e^{-\pi}$
$\dfrac{dy}{dt}$		$+$	$0$	$-$		$-$
$y$	$0$	↗︎		↘︎		↘︎	$0$

$x$ の最小値を $x_{m}$ とする．

$y$ の $0\leqq t \leqq \dfrac{3\pi}{4}$ の部分を $y_{1}$，$\dfrac{3\pi}{4}\leqq t \leqq \pi$ の部分を $y_{2}$ とすると

　$T$

$\displaystyle =\int_{x_{m}}^{1}y_{1}\,dx-\int_{x_{m}}^{-e^{-\pi}}y_{2}\,dx$

$\displaystyle =\int_{\frac{3\pi}{4}}^{0}e^{-t}\sin t\dfrac{dx}{dt}\,dt-\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi}e^{-t}\sin t\dfrac{dx}{dt}\,dt$

$\displaystyle =\int_{\pi}^{0}e^{-t}\sin t\left\{-\sqrt{2}e^{-t}\sin\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}\,dt$

$\displaystyle =\sqrt{2}\int_{0}^{\pi}e^{-2t}\sin t\left\{\sin\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}\,dt$

$\displaystyle =\sqrt{2}\int_{0}^{\pi}e^{-2t}\left\{\dfrac{1}{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{1}{2}\cos\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}\,dt$　←積和変換

$\displaystyle =\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{2}e^{-2t}\,dt-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{\pi}e^{-2t}\cos\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)\,dt$

ここで，$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi}e^{-2t}\cos\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)\,dt$ とおくと

$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi}e^{-2t}\cos\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)\,dt$

$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{2}e^{-2t}\sin\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}(-e^{-2t})\sin\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)\,dt$

$\displaystyle =\dfrac{1}{2\sqrt{2}}(e^{-2\pi}-1)+\int_{0}^{\pi}e^{-2t}\sin\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)\,dt$

$\displaystyle =\dfrac{1}{2\sqrt{2}}(e^{-2\pi}-1)+\left[-\dfrac{1}{2}e^{-2t}\cos\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)\right]_{0}^{\pi}-I$

$2I=0 \ \Longleftrightarrow \ I=0$

以上より

　$T$

$\displaystyle =\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{2}e^{-2t}\,dt$

$\displaystyle =\left[-\dfrac{1}{4}e^{-2t}\right]_{0}^{\pi}$

$=\boldsymbol{\dfrac{1-e^{-2\pi}}{4}}$

扇形積分での解答

曲線は極方程式 $r=e^{-t}$ で表される．

偏角が十分小さい $\Delta t$ 増えたときの微小な面積の増分 $\Delta S$ は，半径が $r$，中心角が $\Delta t$ の扇型の面積で近似できるので

$\Delta t \to 0$ とすると

$\dfrac{dS}{dt} =\dfrac{1}{2}r^{2}$

求める面積は

　$T$

$\displaystyle =\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{2}r^{2}\,dt$

$\displaystyle =\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{2}e^{-2t}\,dt$

$\displaystyle =\left[-\dfrac{1}{4}e^{-2t}\right]_{0}^{\pi}$

$=\boldsymbol{\dfrac{1-e^{-2\pi}}{4}}$

※ 基本的には，扇形積分は答えのみまたはマーク式の問題で使うことをオススメしますが，証明を書いても通常の方法より楽になりますね．