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極方程式の面積(扇形積分)

数学Ⅲ既習者(難関大対策+) ★★★★


アイキャッチ

極方程式で表される曲線の面積は,通常通り $y$ を $x$ で積分するよりもかなり速く求めることができます.

扇形に分割して積分する方法です.ただし出現頻度はそこまで高くなく,バームクーヘン積分傘型積分などと同じように記述式の答案として使うには注意が必要なので,余裕のある難関大受験生向けです.



極方程式の面積(扇形積分)

ポイント

極方程式の面積(扇形積分)

極方程式 $r=f(\theta)$ で表される曲線と,$\theta=\alpha$ から $\theta=\beta$ で囲まれた部分の面積は

扇形積分1

$\displaystyle \boldsymbol{\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}\left\{f(\theta)\right\}^{2}\,d\theta}$

簡単な証明

記述式の答案等に書く際の簡単な証明です.

証明

扇形積分2

面積 $S$ の,偏角が十分小さい $\Delta \theta$ 増えたときの微小な増分 $\Delta S$ は,半径が $f(\theta)$,中心角が $\Delta \theta$ の扇型の面積で近似できるので

$\Delta S \fallingdotseq \left\{f(\theta)\right\}^{2}\pi\cdot\dfrac{\Delta \theta}{2\pi}=\dfrac{1}{2}\left\{f(\theta)\right\}^{2}\Delta \theta$

$\Longleftrightarrow \dfrac{\Delta S}{\Delta \theta} \fallingdotseq \dfrac{1}{2}\left\{f(\theta)\right\}^{2}$

$\Delta \theta \to 0$ とすると

$\dfrac{dS}{d\theta} =\dfrac{1}{2}\left\{f(\theta)\right\}^{2}$

これを偏角が $\theta=\alpha$ から $\theta=\beta$ まで積分すると

$\displaystyle \boldsymbol{\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}\left\{f(\theta)\right\}^{2}\,d\theta}$

厳密な証明

方法は定積分で面積が求まる理由と同じですが,少し長くなるので,下に格納しました.

厳密な証明

証明

扇形積分3

$r=f(\theta)$ で表される曲線の,偏角が $\alpha$ から $\theta$ までで囲まれた部分の面積を $S(\theta)$ とする.

扇形積分4

偏角が $\theta+\Delta \theta$ までの面積 $S(\theta+\Delta \theta)$ と $S(\theta)$ の差(図の赤い箇所)に関して,偏角が $\theta$ から $\theta+\Delta \theta$ までの $f(\theta)$ の最小値を $m$,最大値を $M$ とすると

$\dfrac{1}{2}m^{2}\Delta \theta\leqq S(\theta+\Delta \theta)-S(\theta)\leqq\dfrac{1}{2}M^{2}\Delta \theta$

$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}m^{2}\leqq \dfrac{S(\theta+\Delta \theta)-S(\theta)}{\Delta \theta}\leqq\dfrac{1}{2}M^{2}$

が成り立つ.

$\Delta \theta \to 0$ とすると,$\displaystyle \lim_{\Delta \theta \to 0}m=\lim_{\Delta \theta \to 0}M=f(\theta)$ と,導係数の定義から

$\displaystyle \lim_{\Delta \theta \to 0}\dfrac{S(\theta+\Delta \theta)-S(\theta)}{\Delta \theta}=S'(\theta)=\dfrac{1}{2}\left\{f(\theta)\right\}^{2}$

が成立する.


上の式を積分したものを

$\displaystyle S(\theta)=\int_{}^{} \ \dfrac{1}{2}\left\{f(\theta)\right\}^{2}\,d\theta=F(\theta)+C$

$C$ を積分定数として上のようにおく.上の両辺に $\theta=\alpha$ を代入すると $S(\alpha)=0$ なので

$\displaystyle 0=F(\alpha)+C$

$\therefore \ C=-F(\alpha)$

となるので,$\displaystyle S(\theta)=F(\theta)-F(\alpha)$ が成立.

$\theta=\beta$ を代入すると $S(\beta)=F(\beta)-F(\alpha)$ となるので,これが求める値である.つまり,求める面積は

$\displaystyle S(\beta)=F(\beta)-F(\alpha)=\boldsymbol{\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}\left\{f(\theta)\right\}^{2}\,d\theta}$

記述式の答案における使用の解釈

私立や国立の記述式の答案でこれを使う場合,なぜこの公式が成り立つか明らかでないので,いきなり公式を使って答えを書くのは減点の恐れがあり,下の例題のように途中過程を書くのが無難です.

マーク式や空所補充等では積極的に使いましょう.

例題と練習問題

例題

例題

媒介変数表示された曲線 $C:x=e^{-t}\cos t$,$y=e^{-t}\sin t$ $(0\leqq t \leqq \pi)$ を考える.$C$ と $x$ 軸で囲まれた領域の面積 $T$ を求めよ.


講義

1997年の京大の問題とほぼ同じですが,範囲を変えました.

通常の方法と,扇形積分を使う方法の2通りで書きます.記述式を想定し,扇形積分の方は証明も付けています.


通常の方法の解答

$\dfrac{dx}{dt}=-e^{-t}\cos t-e^{-t}\sin t$

  $=-e^{-t}(\cos t+\sin t)$

  $=-\sqrt{2}e^{-t}\sin\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right)$

$\dfrac{dy}{dt}=-e^{-t}\sin t+e^{-t}\cos t$

  $=-e^{-t}(\sin t-\cos t)$

  $=-\sqrt{2}e^{-t}\sin\left(t-\dfrac{\pi}{4}\right)$

増減表は

$t$ $0$ $\cdots$ $\dfrac{\pi}{4}$ $\cdots$ $\dfrac{3\pi}{4}$ $\cdots$ $\pi$
$\dfrac{dx}{dt}$ $-$ $-$ $0$ $+$
$x$ $1$ ↘︎ ↘︎ $x_{m}$ ↗︎ $-e^{-\pi}$
$\dfrac{dy}{dt}$ $+$ $0$ $-$ $-$
$y$ $0$ ↗︎ ↘︎ ↘︎ $0$

$x$ の最小値を $x_{m}$ とする.


扇形積分例題

$y$ の $0\leqq t \leqq \dfrac{3\pi}{4}$ の部分を $y_{1}$,$\dfrac{3\pi}{4}\leqq t \leqq \pi$ の部分を $y_{2}$ とすると

 $T$

$\displaystyle =\int_{x_{m}}^{1}y_{1}\,dx-\int_{x_{m}}^{-e^{-\pi}}y_{2}\,dx$

$\displaystyle =\int_{\frac{3\pi}{4}}^{0}e^{-t}\sin t\dfrac{dx}{dt}\,dt-\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi}e^{-t}\sin t\dfrac{dx}{dt}\,dt$

$\displaystyle =\int_{\pi}^{0}e^{-t}\sin t\left\{-\sqrt{2}e^{-t}\sin\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}\,dt$

$\displaystyle =\sqrt{2}\int_{0}^{\pi}e^{-2t}\sin t\left\{\sin\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}\,dt$

$\displaystyle =\sqrt{2}\int_{0}^{\pi}e^{-2t}\left\{\dfrac{1}{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{1}{2}\cos\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}\,dt$ ←積和変換

$\displaystyle =\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{2}e^{-2t}\,dt-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{\pi}e^{-2t}\cos\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)\,dt$


ここで,$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi}e^{-2t}\cos\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)\,dt$ とおくと

$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi}e^{-2t}\cos\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)\,dt$

$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{2}e^{-2t}\sin\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}(-e^{-2t})\sin\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)\,dt$

$\displaystyle =\dfrac{1}{2\sqrt{2}}(e^{-2\pi}-1)+\int_{0}^{\pi}e^{-2t}\sin\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)\,dt$

$\displaystyle =\dfrac{1}{2\sqrt{2}}(e^{-2\pi}-1)+\left[-\dfrac{1}{2}e^{-2t}\cos\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)\right]_{0}^{\pi}-I$

$2I=0 \ \Longleftrightarrow \ I=0$


以上より

 $T$

$\displaystyle =\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{2}e^{-2t}\,dt$

$\displaystyle =\left[-\dfrac{1}{4}e^{-2t}\right]_{0}^{\pi}$

$=\boldsymbol{\dfrac{1-e^{-2\pi}}{4}}$


扇形積分での解答

曲線は極方程式 $r=e^{-t}$ で表される.

扇形積分例題2

偏角が十分小さい $\Delta t$ 増えたときの微小な面積の増分 $\Delta S$ は,半径が $r$,中心角が $\Delta t$ の扇型の面積で近似できるので

$\Delta S \fallingdotseq r^{2}\pi\cdot\dfrac{\Delta t}{2\pi}=\dfrac{1}{2}r^{2}\Delta t$

$\Longleftrightarrow \dfrac{\Delta S}{\Delta t} \fallingdotseq \dfrac{1}{2}r^{2}$

$\Delta t \to 0$ とすると

$\dfrac{dS}{dt} =\dfrac{1}{2}r^{2}$


求める面積は

 $T$

$\displaystyle =\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{2}r^{2}\,dt$

$\displaystyle =\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{2}e^{-2t}\,dt$

$\displaystyle =\left[-\dfrac{1}{4}e^{-2t}\right]_{0}^{\pi}$

$=\boldsymbol{\dfrac{1-e^{-2\pi}}{4}}$

※ 基本的には,扇形積分は答えのみまたはマーク式の問題で使うことをオススメしますが,証明を書いても通常の方法より楽になりますね.

練習問題

練習

座標平面において,方程式

$(x^{2}+y^{2})^{2}=2xy$

の表す曲線 $C$ を考える.以下答えのみを求めよ.

(1) 極座標 $(r,\theta)$ に関する $C$ の方程式が $r^{s}=\sin(t\theta)$ と表されるとき,$s$,$t$ を求めよ.

(2) $C$ 上の点で $x$ 座標が最大である点 $\rm M$ の偏角を $\theta_{0}$ $(0\leqq \theta_{0} < 2\pi)$ としたとき,$\theta_{0}$ を求めよ.

(3) $\rm M$ を通り $y$ 軸に平行な直線を $\ell$ とする.$C$ 上の点を極座標で $(r,\theta)$ と表すとき,$C$ の $(0\leqq \theta \leqq \theta_{0})$ の部分と,$x$ 軸,および $\ell$ で囲まれた部分の面積を求めよ.

(4) $C$ で囲まれた部分の面積を求めよ.

練習の解答 出典:2018上智大理工改

(1)

$r^{4}=2r^{2}\cos\theta\sin\theta$ $\therefore \ \boldsymbol{r^{2}=\sin2\theta}$


(2) $\theta$ が 第1象限と第3象限では原点に関して対称.第2,4象限では定義しないので,$x^{2}$ $\left(0\leqq \theta \leqq \dfrac{1}{2}\pi\right)$で考える.

 $x^{2}$

$=r^{2}\cos^{2}\theta$

$=\sin2\theta\cos^{2}\theta$

$=2\sin\theta\cos^{3}\theta$


 $\dfrac{d(x^{2})}{d\theta}$

$=2\cos^{4}\theta-6\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta$

$=2\cos^{2}\theta(\cos^{2}\theta-3\sin^{2}\theta)$

$=2\cos^{2}\theta(1-4\sin^{2}\theta)$

$=2\cos^{2}\theta(1+2\sin\theta)(1-2\sin\theta)$

増減表は

$\theta$ $0$ $\cdots$ $\dfrac{\pi}{6}$ $\cdots$ $\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{d(x^{2})}{d\theta}$ $+$ $0$ $-$
$x^{2}$ $0$ ↗︎ ↘︎ $0$

これより,$\theta=\theta_{0}=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{6}}$ のとき最大.$x$ が最大をとる値も同じ.


(3) $\theta=\theta_{0}=\dfrac{\pi}{6}$ のときの $x$ を $x_{0}$ とする.

扇形積分練習問題1

求める面積は(図の黄色の部分)

 $\displaystyle \int_{0}^{x_{0}}y\,dx$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}r\sin\theta\dfrac{dx}{d\theta}\,d\theta$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}r\sin\theta\left(\dfrac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta\right)\,d\theta$

ここで,$r^{2}=\sin2\theta$ を $\theta$ で微分すると $2r\dfrac{dr}{d\theta}=2\cos2\theta$ より

 $\displaystyle \int_{0}^{x_{0}}y\,dx$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\left(\cos2\theta\sin\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin^{2}\theta\right)\,d\theta$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\left\{(1-2\sin^{2}\theta)\sin\theta\cos\theta-2\cos\theta\sin^{3}\theta\right\}\,d\theta$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\left(\sin\theta-4\sin^{3}\theta\right)\cos\theta\,d\theta$

$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{2}\sin^{2}\theta-\sin^{4}\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}$

$=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{16}}$


(4) 扇形積分で出します.

扇形積分練習問題2

求める面積は(図の黄色の部分),第1象限の部分を2倍して求める.

 $\displaystyle 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{2}r^{2}\,d\theta$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin2\theta\,d\theta$

$\displaystyle =\left[-\dfrac{1}{2}\cos2\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$=\boldsymbol{1}$