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定積分で面積が求まる理由

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

このページでは,なぜ定積分で面積を求めることができるのかについて,丁寧にかつ厳密に説明します.

厳密に示しますので,数Ⅲの極限既習者向けです.このページは練習問題等はありません.





示したいもの

ポイント

面積を求める基本的な公式

導入

$y=f(x)$ と $x$ 軸と直線 $x=a$,$x=b$ で囲まれた部分の面積は,$y=f(x)$ の原始関数を $F(x)$ とすると

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

で計算できる.


上の公式を示します.




定積分で面積が求まる理由

考え方

定積分で面積が求まる理由

上の図のように $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の $x$ 座標が $a$ から $x$ までの区間の面積を $x$ の関数として $S(x)$ とおきます.

定積分で面積が求まる理由2

区間を $a$ から $x+h$ までにすれば,面積は $S(x+h)$ となるはずです.

上の2つの図の面積の差 $S(x+h)-S(x)$ を考えます.

(ⅰ) $h>0$ のとき

定積分で面積が求まる理由3

$S(x+h)-S(x)$ は当然図の赤い部分になるはずです.区間が $[x,x+h]$ での $f(x)$ の最小値を $m_{1}$,最大値を $M_{1}$ とおくと

$m_{1}h \leqq S(x+h)-S(x) \leqq M_{1}h$

$\Longleftrightarrow \ m_{1} \leqq \dfrac{S(x+h)-S(x)}{h} \leqq M_{1}$

$\displaystyle \lim_{h \to +0}m_{1}=\lim_{h \to +0}M_{1}=f(x)$ より,はさみうちの原理を使うと

$\displaystyle \lim_{h \to +0}\dfrac{S(x+h)-S(x)}{h}=f(x)$ $ \ \cdots$ ①

が成立.

(ⅱ) $h<0$ のとき

定積分で面積が求まる理由4

同様に区間 $[x+h,x]$ での $f(x)$ の最小値を $m_{2}$,最大値を $M_{2}$ とおくと

$m_{2}(-h) \leqq S(x)-S(x+h) \leqq M_{2}(-h)$

$\Longleftrightarrow \ m_{2} \leqq \dfrac{S(x+h)-S(x)}{h} \leqq M_{2}$

$\displaystyle \lim_{h \to -0}m_{2}=\lim_{h \to -0}M_{2}=f(x)$ より,はさみうちの原理を使うと

$\displaystyle \lim_{h \to -0}\dfrac{S(x+h)-S(x)}{h}=f(x)$ $ \ \cdots$ ②

が成立.

①,②より極限値が存在し,導係数の定義より

$\displaystyle \color{red}{\lim_{h \to 0}\dfrac{S(x+h)-S(x)}{h}=S'(x)=f(x)}$ $ \ \cdots$ ③



最後の詰め

上の③を両辺 $x$ で不定積分すると

$\displaystyle S(x)=\int_{}^{}f(x)\,dx=F(x)+C$

$C$ を積分定数として上のようになります.上の両辺に $x=a$ を代入すると $\color{red}{S(a)=0}$ なので

$\displaystyle 0=F(a)+C$

$\therefore C=-F(a)$

となるので,$\displaystyle S(x)=F(x)-F(a)$ が成立.

$x=b$ を代入すると $S(b)=F(b)-F(a)$ となります.

定積分の定義から $\displaystyle F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ となりますね.



まとめ

まとめ

以上より,$y=f(x)$ と $x$ 軸と直線 $x=a$,$x=b$ で囲まれた部分の面積は

$\displaystyle S(b)=\color{red}{\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$

が言えますね.

下が $x$ 軸でなくて普通の関数でも,(上下の差を $f(x)$ とすれば)同じことが言えるはずです.

また,体積を求める考え方も同じなので,是非考えてみてください.



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