定積分で面積が求まる理由

積分(数学Ⅲ)(教科書範囲)　★★

なぜ定積分で面積を求めることができるのかについて，丁寧にかつ厳密に説明します．

数学Ⅲの極限既習者向けです．例題，練習問題は2つの曲線の間の面積にまとめて収録してあります．

定積分で求める面積

定積分で求める面積

$y=f(x)$ と $x$ 軸と直線 $x=a$，$x=b$ で囲まれた部分の面積 $S$ は

$\displaystyle \boldsymbol{S=\int_{a}^{b}f(x)\,dx}$

上の公式を次章で証明します．

定積分で面積が求まる理由

考え方

上の図のように $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の $x$ 座標が $a$ から $x$ までの区間の面積を $x$ の関数として $S(x)$ とおきます．

区間を $a$ から $x+h$ までにすれば，面積は $S(x+h)$ となるはずです．

上の2つの図の面積の差を考えます．

(ⅰ) $h>0$ のとき

$S(x+h)-S(x)$ は当然図の赤い部分になるはずです．区間が $[x,x+h]$ での $f(x)$ の最小値を $m_{1}$，最大値を $M_{1}$ とおくと

$\displaystyle \lim_{h \to +0}m_{1}=\lim_{h \to +0}M_{1}=f(x)$ より，はさみうちの原理を使うと

$\displaystyle \lim_{h \to +0}\dfrac{S(x+h)-S(x)}{h}=f(x)$ $ \ \cdots$ ①

が成立．

(ⅱ) $h<0$ のとき

同様に区間 $[x+h,x]$ での $f(x)$ の最小値を $m_{2}$，最大値を $M_{2}$ とおくと

$\displaystyle \lim_{h \to -0}m_{2}=\lim_{h \to -0}M_{2}=f(x)$ より，はさみうちの原理より

$\displaystyle \lim_{h \to -0}\dfrac{S(x+h)-S(x)}{h}=f(x)$ $ \ \cdots$ ②

が成立．

①，②より極限値が存在し，導関数の定義より

$\displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{S(x+h)-S(x)}{h}=S'(x)=f(x)$ $ \ \cdots$ ③

が成り立ちます．

最後の詰め

上の③を両辺 $x$ で不定積分すると

$\displaystyle S(x)=\int_{}^{}f(x)\,dx=F(x)+C$

$C$ を積分定数として上のようになります．上の両辺に $x=a$ を代入すると $S(a)=0$ なので

となるので，$\displaystyle S(x)=F(x)-F(a)$ が成立．

ここで $x=b$ を代入したものが求める面積なので

　$S$

$=S(b)$

$=F(b)-F(a)$

$\displaystyle =\int_{a}^{b}f(x)\,dx$　( $\because$ 定積分の定義)

まとめ

以上より，$y=f(x)$ と $x$ 軸と直線 $x=a$，$x=b$ で囲まれた部分の面積 $S$ は

$\displaystyle \boldsymbol{S=\int_{a}^{b}f(x)\,dx}$

が言えます．

これは体積を求める考え方でも同じなので，是非考えてみてください．