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2つの曲線の間の面積

積分(数学Ⅱ,Ⅲ)(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

数学Ⅱ,数学Ⅲ共通ページです.

2つの曲線の間の面積について扱います.ここでいう曲線は直線も含みます.

数学Ⅱは基本的に多項式関数を,数学Ⅲはすべての関数を扱います.

数学Ⅱの積分を勉強中の人は,2章までです.



2つの曲線の間の面積

一部数学Ⅲの内容を含みますが,定積分で面積が求まる理由で,下の図のような $y=f(x)$ と $x$ 軸と2直線 $x=a$,$x=b$ で囲まれた図形の面積が

導入

$\displaystyle \boldsymbol{\int_{a}^{b}f(x)\,dx}$

で表されることを扱います.以下ではこれを利用して,より一般的な公式が導けるので紹介します.

ポイント

2つの曲線の間の面積

2つの曲線の間の面積

区間 $a\leqq x\leqq b$ において,$f(x)\geqq g(x)$ であるとき,2曲線 $y=f(x)$,$y=g(x)$ と2直線 $x=a$,$x=b$ で囲まれた図形の面積 $S$ は

$\displaystyle \boldsymbol{S=\int_{a}^{b}\{f(x)-g(x)\}\,dx}$

証明

区間 $a\leqq x\leqq b$ で常に $g(x)+k \geqq0$ となるような $k$ を選び,2つの関数を $y$ 軸方向に $k$ 平行移動する.

2つの曲線の間の面積証明

求める面積 $S$ は $y=f(x)+k$ と $x$ 軸と2直線 $x=a$,$x=b$ で囲まれた図形の面積から,$y=g(x)+k$ と $x$ 軸と2直線 $x=a$,$x=b$ で囲まれた図形の面積を引いた値と同じなので

 $S$

$\displaystyle =\int_{a}^{b}\{f(x)+k\}\,dx-\int_{a}^{b}\{g(x)+k\}\,dx$

$\displaystyle =\int_{a}^{b}\{\{f(x)+k\}-\{g(x)+k\}\}\,dx$

$\displaystyle =\int_{a}^{b}\{f(x)-g(x)\}\,dx$


$f(x)$ または $g(x)$ が $x$ 軸(つまり $y=0$ )ならば $0$ として考えることで,最初の公式の一般化になります.

例題と練習問題(数学Ⅱ)

例題

例題

次の曲線,直線で囲まれた部分の面積をそれぞれ求めよ.

(1) $y=-x^{2}-1$,$y=2x^{2}+1$,$x=-2$,$x=2$

(2) $y=x^{2}-3x$,$x$ 軸

(3) $y=x^{2}+2x-3$,$x=-1$,$x=2$


講義

どの問題も基本は図を書いて上にある関数と下にある関数を明確にします.ただ面積を求めるのが目的なので,関数の上下がわかれば図は不要ですし,$y$ 軸を省略して図を書くなどしてもいいと思います.

(2),(3)では $x$ 軸を $y=0$ と解釈して記述しています.


解答

(1)

例題(1)

 $\displaystyle \int_{-2}^{2}\{2x^{2}+1-(-x^{2}-1)\}\,dx$

$\displaystyle =\int_{-2}^{2}(3x^{2}+2)\,dx$

$\displaystyle =2\int_{0}^{2}(3x^{2}+2)\,dx$ ←偶関数の定積分

$\displaystyle =2\Bigl[x^{3}+2x\Bigr]_{0}^{2}$

$\displaystyle =\boldsymbol{24}$


(2)

$x$ 軸との交点は

$x^{2}-3x=0 \ \Longleftrightarrow \ x=0,3$

例題(2)

$x$ 軸を $y=0$ と考えます.

 $\displaystyle \int_{0}^{3}\{0-(x^{2}-3x)\}\,dx$

$\displaystyle =\left[-\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^{2}\right]_{0}^{3}$

$\displaystyle =\dfrac{9}{2}-0=\boldsymbol{\dfrac{9}{2}}$

※ 放物線と直線で囲まれた面積なので1/6公式が使えます.


(3)

例題(3)

図は上のようになる.求める面積は

 $\displaystyle \int_{-1}^{1}\{0-(x^{2}+2x-3)\}\,dx+\int_{1}^{2}\{(x^{2}+2x-3)-0\}\,dx$

$\displaystyle =2\int_{0}^{1}(-x^{2}+3)\,dx+\int_{1}^{2}(x^{2}+2x-3)\,dx$

 ↑偶関数・奇関数の定積分

$\displaystyle =2\left[-\dfrac{1}{3}x^{3}+3x\right]_{0}^{1}+\left[\dfrac{1}{3}x^{3}+x^{2}-3x\right]_{1}^{2}$

$\displaystyle =\dfrac{16}{3}+\dfrac{7}{3}=\boldsymbol{\dfrac{23}{3}}$

練習問題

練習1

次の曲線,直線で囲まれた部分の面積をそれぞれ求めよ.

(1) $y=x^{2}-2x-3$,$y=-x^{2}+1$

(2) $y=x^{3}-x^{2}-2x$,$x$ 軸

練習1の解答

(1)

交点は

$x^{2}-2x-3=-x^{2}+1$

$\Longleftrightarrow x^{2}-x-2=0$

$\therefore \ x=-1,2$

1/6公式例題

$\displaystyle S=\int_{-1}^{2}\{-x^{2}+1-(x^{2}-2x-3)\}\,dx$

 $\displaystyle =\int_{-1}^{2}(-2x^{2}+2x+4)\,dx$

 $\displaystyle =\left[-\dfrac{2}{3}x^{3}+x^{2}+4x\right]_{-1}^{2}$

 $\displaystyle =\dfrac{20}{3}-\left(-\dfrac{7}{3}\right)$

 $\displaystyle =\boldsymbol{9}$

※ 放物線と放物線で囲まれた面積なので1/6公式が使えます.リンク先の例題の問題です.


(2)

 $x^{3}-x^{2}-2x$

$=x(x+1)(x-2)$

$-1\leqq x \leqq 0$ において

$x^{3}-x^{2}-2x\geqq0$

$0\leqq x \leqq 2$ において

$x^{3}-x^{2}-2x\leqq0$

練習1

求める面積は

 $\displaystyle \int_{-1}^{0}(x^{3}-x^{2}-2x)\,dx+\int_{0}^{2}(-x^{3}+x^{2}+2x)\,dx$

$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{4}x^{4}-\dfrac{1}{3}x^{3}-x^{2}\right]_{-1}^{0}+\left[-\dfrac{1}{4}x^{4}+\dfrac{1}{3}x^{3}+x^{2}\right]_{0}^{2}$

$\displaystyle =\dfrac{5}{12}+\dfrac{8}{3}=\boldsymbol{\dfrac{37}{12}}$

※ 念のため極値を求めてしっかりグラフを書いた方が安全ですが,3次関数と $x$ 軸の上下関係だけならグラフを書かなくてもわかります.

例題と練習問題(数学Ⅲ)

例題

例題

区間 $0\leqq x \leqq \dfrac{4}{3}\pi$ において,2つの曲線 $y=\cos x$ と $y=\cos 2x$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ.


講義

数学Ⅱと同様に,基本は図を書いて上にある関数と下にある関数を明確にします.


解答

(1)

 $\cos x-\cos2x$

$=\cos x-(2\cos^{2}x-1)$ ←2倍角の公式

$=-(2\cos^{2}x-\cos x-1)$

$=-(2\cos x+1)(\cos x-1)$

$0\leqq x \leqq \dfrac{2}{3}\pi$ において

$\cos x-\cos2x\geqq0 \ \Longleftrightarrow \ \cos x\geqq\cos2x$

$\dfrac{2}{3}\pi\leqq x \leqq \dfrac{4}{3}\pi$ において

$\cos x-\cos2x\leqq0 \ \Longleftrightarrow \ \cos x\leqq\cos2x$

例題

 $S$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{2}{3}\pi}(\cos x-\cos2x)\,dx+\int_{\frac{2}{3}\pi}^{\frac{4}{3}\pi}(\cos 2x-\cos x)\,dx$

$\displaystyle =\left[\sin x-\dfrac{1}{2}\sin2x\right]_{0}^{\frac{2}{3}\pi}+\left[\dfrac{1}{2}\sin2x-\sin x\right]_{\frac{2}{3}\pi}^{\frac{4}{3}\pi}$

$=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\boldsymbol{\dfrac{9\sqrt{3}}{4}}$

練習問題

練習2

曲線 $C:y=\log x$ の $x=e$ での接線を $l$ とする.$C$ と $l$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ.

練習2の解答

$y'=\dfrac{1}{x}$ より

$l:y=\dfrac{1}{e}(x-e)+1=\dfrac{1}{e}x$

練習2

 $S$

$\displaystyle =e\cdot 1 \cdot \dfrac{1}{2}-\int_{1}^{e}\log x\,dx$

$\displaystyle =\dfrac{e}{2}-\Bigl[x\log x-x\Bigr]_{1}^{e}$

$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{e}{2}-1}$

※ 黄色部分を $x=1$ の左と右に分けるよりも直角三角形から引く上の方法が楽でしょう.ちなみに $y$ で積分する方法の方が少し楽かもしれません.