講義

どの問題も基本は図を書いて上にある関数と下にある関数を明確にします．ただ面積を求めるのが目的なので，関数の上下がわかれば図は不要ですし，$y$ 軸を省略して図を書くなどしてもいいと思います．

(2)，(3)では $x$ 軸を $y=0$ と解釈して記述しています．

解答

(1)

　$\displaystyle \int_{-2}^{2}\{2x^{2}+1-(-x^{2}-1)\}\,dx$

$\displaystyle =\int_{-2}^{2}(3x^{2}+2)\,dx$

$\displaystyle =2\int_{0}^{2}(3x^{2}+2)\,dx$　←偶関数の定積分

$\displaystyle =2\Bigl[x^{3}+2x\Bigr]_{0}^{2}$

$\displaystyle =\boldsymbol{24}$

(2)

$x$ 軸との交点は

$x^{2}-3x=0 \ \Longleftrightarrow \ x=0，3$

$x$ 軸を $y=0$ と考えます．

　$\displaystyle \int_{0}^{3}\{0-(x^{2}-3x)\}\,dx$

$\displaystyle =\left[-\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^{2}\right]_{0}^{3}$

$\displaystyle =\dfrac{9}{2}-0=\boldsymbol{\dfrac{9}{2}}$

※ 放物線と直線で囲まれた面積なので1/6公式が使えます．

(3)

図は上のようになる．求める面積は

　$\displaystyle \int_{-1}^{1}\{0-(x^{2}+2x-3)\}\,dx+\int_{1}^{2}\{(x^{2}+2x-3)-0\}\,dx$

$\displaystyle =2\int_{0}^{1}(-x^{2}+3)\,dx+\int_{1}^{2}(x^{2}+2x-3)\,dx$

　↑偶関数・奇関数の定積分

$\displaystyle =2\left[-\dfrac{1}{3}x^{3}+3x\right]_{0}^{1}+\left[\dfrac{1}{3}x^{3}+x^{2}-3x\right]_{1}^{2}$

$\displaystyle =\dfrac{16}{3}+\dfrac{7}{3}=\boldsymbol{\dfrac{23}{3}}$

講義

数学Ⅱと同様に，基本は図を書いて上にある関数と下にある関数を明確にします．

解答

(1)

　$\cos x-\cos2x$

$=\cos x-(2\cos^{2}x-1)$　←2倍角の公式

$=-(2\cos^{2}x-\cos x-1)$

$=-(2\cos x+1)(\cos x-1)$

$0\leqq x \leqq \dfrac{2}{3}\pi$ において

$\cos x-\cos2x\geqq0 \ \Longleftrightarrow \ \cos x\geqq\cos2x$

$\dfrac{2}{3}\pi\leqq x \leqq \dfrac{4}{3}\pi$ において

$\cos x-\cos2x\leqq0 \ \Longleftrightarrow \ \cos x\leqq\cos2x$

　$S$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{2}{3}\pi}(\cos x-\cos2x)\,dx+\int_{\frac{2}{3}\pi}^{\frac{4}{3}\pi}(\cos 2x-\cos x)\,dx$

$\displaystyle =\left[\sin x-\dfrac{1}{2}\sin2x\right]_{0}^{\frac{2}{3}\pi}+\left[\dfrac{1}{2}\sin2x-\sin x\right]_{\frac{2}{3}\pi}^{\frac{4}{3}\pi}$

$=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\boldsymbol{\dfrac{9\sqrt{3}}{4}}$