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斜軸回転体の体積(応用編:傘型積分)

タイプ:難関大対策 レベル:★★★★ 


アイキャッチ

斜軸回転の問題は,斜軸回転体の体積(基本編),そして斜軸回転体の体積(応用編:ドモアブルの定理利用)を解説しました.

このページはいわゆる,傘型分割積分について扱います.





斜軸回転体の体積の求め方まとめ

ポイント

斜軸回転体の体積の求め方

回転軸に垂直に積分する方法(基本編:正攻法)

ドモアブルの定理利用(応用編:正攻法)

傘型積分(応用編:いわゆる裏ワザ.減点リスクあり)(このページです!)


今回は①や②では体積を求めるのが厳しい場合や,より速く解きたい場合,いわゆる傘型積分と呼ばれる方法があるのでその紹介です.




傘型積分について

ポイント

傘型積分

$y=f(x)$ と $y=mx$ で囲まれた部分を $y=mx$ の周りに1回転してできた立体の体積$V$について

斜軸回転傘型積分

図のように $x$ での $mx-f(x)=l$ を回転させた円錐の側面積は(公式は念のため下のボックスに書きました)

$l\times l\cos\theta \times \pi=\pi l^{2}\cos\theta$ .

この円錐を $x$ から $x+\Delta x$ まで増やしたときの $V$ の増分 $\Delta V$ (図の赤く塗られた箇所の回転体)は,$\Delta x$ が非常に小さいので

$\Delta V=\pi l^{2}\cos\theta \times \Delta x=\pi \{mx-f(x)\}^{2}\cos\theta \times \Delta x$

$\therefore \dfrac{\Delta V}{\Delta x}=\pi \{mx-f(x)\}^{2}\cos\theta$

とみなせる.←厳密ではないですが,これでいいと思います.

ここで $\Delta x \to 0$ にすると

$\dfrac{dV}{dx}=\pi \{mx-f(x)\}^{2}\cos\theta$

これを $0$ から $\alpha$ まで積分すると

$\displaystyle \boldsymbol{V=\int_{0}^{\alpha}\pi \{mx-f(x)\}^{2}\cos\theta \,dx}$

※円錐の側面積の公式



入試の答案における使用の解釈

バウムクーヘン積分などと同様に,何故上の公式で体積を求めることができるか周知の事実ではないので,入試や模試で答案として使うのは減点リスクがありますが,計算しやすいので利用価値があるはずです.




例題と練習問題

例題

例題

$x\geqq 0$ で $y=x$,$y=x^3$ で囲まれた部分を $y=x$ の周りに1回転してできた立体の体積 $V$ を求めよ.


解説と解答

斜軸回転例題の図1

図の黄色の部分が該当箇所です.

以下の図のような $x$ での円錐を考える.

斜軸回転例題の図2

この円錐を $x$ から $x+\Delta x$ まで増やしたときの $V$ の増分 $\Delta V$ は,$\Delta x$ が非常に小さいので

$\Delta V=(x-x^{3}) \times (x-x^{3})\cos\dfrac{\pi}{4} \times \pi \times \Delta x$

とみなせる.

これを $\Delta x \to 0$ にして $x=0$ から $x=1$ まで積分すれば

 $\displaystyle V$

$\displaystyle =\int_{0}^{1}\left\{(x-x^{3}) \times (x-x^{3})\cos\dfrac{\pi}{4} \times \pi\right\} \,dx$

$\displaystyle =\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}\int_{0}^{1}(x^{6}-2x^{4}+x^{2})dx$

$\displaystyle =\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}\right)$

$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{2}\pi}{105}}$



練習問題

練習

曲線 $y=x^{2}-\dfrac{5}{2}x$ と $y=\dfrac{1}{2}x$ で囲まれた部分を,直線 $y=x$ の周りに回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ.

練習の解答



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