斜軸回転体の体積（応用編：傘型積分）
数学Ⅲ既習者(難関大対策) ★★★★
斜軸回転の問題は，斜軸回転体の体積(基本編)，そして斜軸回転体の体積（応用編：複素数の回転利用）を優先して学習することをオススメします．
このページはいわゆる，傘型分割積分について扱います．
斜軸回転体の体積の求め方まとめ
今回はⅠやⅡでは体積を求めるのが厳しい場合や，より速く解きたい場合，いわゆる傘型積分と呼ばれる方法があるのでその紹介です．
傘型積分の公式と証明
傘型積分
$y=f(x)$ と $y=px+q$ で囲まれた部分を $y=px+q$ の周りに1回転してできる立体の体積 $V$ は
図の赤い円錐の側面積を $x$ で積分すると
$\displaystyle \boldsymbol{V=\int_{a}^{b}(円錐の側面積) \,dx}$
$\displaystyle \boldsymbol{=\cos\theta \int_{a}^{b}\pi \{px+q-f(x)\}^{2}\,dx}$
※ 入試問題だと出たとしても $q=0$ の場合が大半です．
円錐の側面積の公式
補足：円錐の側面積の公式
上の図で，左が見取り図で，右が展開図です．
当たり前ですが，側面の孤の長さと，底面の円周の長さが等しくなければならないので
$\displaystyle 2l\pi \times \dfrac{?}{2\pi}$ $=$ $\displaystyle 2r\pi$
$\therefore$ $\dfrac{?}{2\pi} =\dfrac{r}{l}$
つまり円錐の側面積 $S$ は
$\displaystyle S=l^{2}\pi \times \dfrac{?}{2\pi}=\boldsymbol{lr\pi}$
証明
いわゆるはさみうちの原理を使って証明します．
証明
領域内の $x$ から $x+\Delta x$ までの回転体の体積を $\Delta V$ とする．
ところで，$\Delta V$ を評価するための準備として，底辺が $b$ で高さが $a$ の平行四辺形の回転体の体積を考える．
上のように，体積は $a^{2}b\pi$ となる．
さて，$\Delta V$ に関して
区間 $[x,x+\Delta x]$ での $|px+q-f(x)|$ の最大値を $M$，最小値を $m$ とおく．
以下のように $\Delta V$ を不等式で評価できる．
ここで，$\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}m=\lim_{\Delta x \to 0}M=|px+q-f(x)|$ であることを踏まえ，$\Delta x \to 0$ とすると
$\dfrac{dV}{dx}=\cos\theta \cdot \pi \{px+q-f(x)\}^{2}$
これを $x=a$ から $x=b$ まで積分すると
$\displaystyle \boldsymbol{V=\cos\theta \int_{a}^{b}\pi \{px+q-f(x)\}^{2}\,dx}$
入試の答案における使用の解釈
バウムクーヘン積分などと同様に，何故上の公式で体積を求めることができるか周知の事実ではないので，入試や模試で答案として使うのは減点リスクがあります．
しかし上にある証明をしたのでは，時間がかかり，公式により速く求値できるというメリットが薄れます．
当サイトとしてはマーク式や答えのみの問題，検算での活用をオススメします．
例題と練習問題
例題
例題
$x\geqq 0$ で $y=x$，$y=x^3$ で囲まれた部分を $y=x$ の周りに1回転してできた立体の体積 $V$ を求めよ(答えのみでよい)．
講義
答えのみとあるので，堂々と傘型積分公式を使います．
解説と解答
図の黄色の部分が該当箇所です．
以下の図のような $x$ での円錐を考える．
円錐の側面積を $x=0$ から $x=1$ まで積分すれば
$\displaystyle V$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}\left\{(x-x^{3}) \times (x-x^{3})\cos\dfrac{\pi}{4} \times \pi\right\} \,dx$
$\displaystyle =\cos\dfrac{\pi}{4}\int_{0}^{1}(x-x^{3})^{2}\pi \,dx$ ←傘型積分
$\displaystyle =\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}\int_{0}^{1}(x^{6}-2x^{4}+x^{2})dx$
$\displaystyle =\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}\right)$
$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{2}\pi}{105}}$
※ 記述式の場合は斜軸回転体の体積(基本編)または斜軸回転体の体積(応用編：複素数の回転利用)をオススメします．
練習問題
練習
曲線 $y=x^{2}-\dfrac{5}{2}x$ と $y=\dfrac{1}{2}x$ で囲まれた部分を，直線 $y=\dfrac{1}{2}x$ の周りに回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ．
講義
答えのみの形式ではないので，傘型積分公式の証明をしつつ求めます．
解答
交点は原点と $\left(3,\dfrac{3}{2}\right)$．
図のように $\theta$ を設定すると $\tan\theta=\dfrac{1}{2}$．そして準備として
底辺が $b$ で高さが $a$ の平行四辺形の回転体の体積は $a^{2}b\pi$ である．
円錐の側面積を $x$ から $x+\Delta x$ まで増やしたときの $V$ の増分を $\Delta V$ とする．区間 $[x,x+\Delta x]$ での $\dfrac{1}{2}x-\left(x^{2}-\dfrac{5}{2}x\right)$ の最大値を $M$，最小値を $m$ とおくと，$\Delta V$ は底辺が $\dfrac{\Delta x}{\cos\theta}$ で，高さがそれぞれ $m\cos\theta$ と $M\cos\theta$ の平行四辺形の回転体の体積で評価できる．
$(m\cos\theta)^{2}\cdot \dfrac{\Delta x}{\cos\theta} \cdot\pi \leqq \Delta V\leqq (M\cos\theta)^{2}\cdot \dfrac{\Delta x}{\cos\theta} \cdot\pi $
$\Delta x$ で割ると
$\cos\theta \cdot \pi m^{2}\leqq \dfrac{\Delta V}{\Delta x}\leqq \cos\theta \cdot \pi M^{2}$
ここで，$\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}m=\lim_{\Delta x \to 0}M=\dfrac{1}{2}x-\left(x^{2}-\dfrac{5}{2}x\right)$ であることを踏まえ，$\Delta x \to 0$ とすると
$\dfrac{dV}{dx}=\cos\theta \cdot \pi \left\{\dfrac{1}{2}x-\left(x^{2}-\dfrac{5}{2}x\right)\right\}^{2}$
これを $x=0$ から $x=3$ まで積分すると
$V$
$\displaystyle =\cos\theta \int_{0}^{3}\left\{\dfrac{1}{2}x-\left(x^{2}-\dfrac{5}{2}x\right)\right\}^{2}\pi \,dx$ ←傘型積分公式
$\displaystyle =\dfrac{2\pi}{\sqrt{5}}\int_{0}^{3}(x^{4}-6x^{3}+9x^{2})dx$
$\displaystyle =\dfrac{2\pi}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{243}{5}-\dfrac{243}{2}+81\right)$
$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{81\sqrt{5}\pi}{25}}$
※ 記述式を想定し，傘型積分公式の証明をしました．
※ 原点での $y=x^{2}-\dfrac{5}{2}x$ の接線の傾き $\left(-\dfrac{5}{2}\right)$ が，$y=\dfrac{1}{2}x$ の原点での法線の傾き $\left(-2\right)$ より小さいので，傘型以外の方法では左の隙間部分の回転体を引く作業が必要なので面倒です．