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斜軸回転体の体積(応用編:傘型積分)

タイプ:難関大対策 レベル:★★★★ 


アイキャッチ

斜軸回転の問題は,斜軸回転体の体積(基本編),そして斜軸回転体の体積(応用編:ドモアブルの定理利用)を解説しました.

このページはいわゆる,傘型分割積分について扱います.





斜軸回転体の体積の求め方まとめ

ポイント

斜軸回転体の体積の求め方

回転軸に垂直に積分する方法(基本編:正攻法)

ドモアブルの定理利用(応用編:正攻法)

傘型積分(応用編:いわゆる裏ワザ.減点リスクあり)(このページです!)


今回はⅠやⅡでは体積を求めるのが厳しい場合や,より速く解きたい場合,いわゆる傘型積分と呼ばれる方法があるのでその紹介です.




傘型積分の公式と証明

ポイント

傘型積分

$y=f(x)$ と $y=px+q$ で囲まれた部分を $y=px+q$ の周りに1回転してできる立体の体積 $V$ は

斜軸回転傘型積分

図の赤い円錐の側面積を $x$ で積分すると

$\displaystyle \boldsymbol{V=\int_{a}^{b}(円錐の側面積) \,dx}$     

$\displaystyle \boldsymbol{=\cos\theta \int_{a}^{b}\pi \{px+q-f(x)\}^{2}\,dx}$

※ 結果は $x$ 軸周りの回転体の体積の値に $\cos\theta$ を付けるだけという覚えやすい結果になっています.

※ 入試問題だと出たとしても $q=0$ の場合が大半です.

※円錐の側面積の公式



証明

いわゆるはさみうちの原理を使って証明します.

証明

証明1

領域内の $x$ から $x+\Delta x$ までの回転体の体積を $\Delta V$ とする.

ところで,$\Delta V$ を評価するための準備として,底辺が $b$ で高さが $a$ の平行四辺形の回転体の体積を考える.

証明2

上のように,体積は $a^{2}b\pi$ となる.

さて,$\Delta V$ に関して

証明3

区間 $[x,x+\Delta x]$ での $|px+q-f(x)|$ の最大値を $M$,最小値を $m$ とおく.

以下のように $\Delta V$ を不等式で評価できる.

証明4

ここで,$\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}m=\lim_{\Delta x \to 0}M=|px+q-f(x)|$ であることを踏まえ,$\Delta x \to 0$ とすると

$\dfrac{dV}{dx}=\cos\theta \cdot \pi \{px+q-f(x)\}^{2}$

これを $x=a$ から $x=b$ まで積分すると

$\displaystyle \boldsymbol{V=\cos\theta \int_{a}^{b}\pi \{px+q-f(x)\}^{2}\,dx}$



入試の答案における使用の解釈

バウムクーヘン積分などと同様に,何故上の公式で体積を求めることができるか周知の事実ではないので,入試や模試で答案として使うのは減点リスクがあります.

しかし上にある証明をしたのでは,時間がかかり,公式により速く求値できるというメリットが薄れます.

当サイトとしてはマーク式や答えのみの問題,検算での活用をオススメします.




例題と練習問題

例題

例題

$x\geqq 0$ で $y=x$,$y=x^3$ で囲まれた部分を $y=x$ の周りに1回転してできた立体の体積 $V$ を求めよ(答えのみでよい).


講義

答えのみとあるので,堂々と傘型積分公式を使います.


解説と解答

斜軸回転例題の図1

図の黄色の部分が該当箇所です.

以下の図のような $x$ での円錐を考える.

斜軸回転例題の図2

円錐の側面積を $x=0$ から $x=1$ まで積分すれば

 $\displaystyle V$

$\displaystyle =\int_{0}^{1}\left\{(x-x^{3}) \times (x-x^{3})\cos\dfrac{\pi}{4} \times \pi\right\} \,dx$

$\displaystyle =\cos\dfrac{\pi}{4}\int_{0}^{1}(x-x^{3})^{2}\pi \,dx$ ←傘型積分公式

$\displaystyle =\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}\int_{0}^{1}(x^{6}-2x^{4}+x^{2})dx$

$\displaystyle =\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}\right)$

$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{2}\pi}{105}}$

※ 記述式の場合は斜軸回転体の体積(基本編)または斜軸回転体の体積(応用編:ドモアブルの定理利用)をオススメします.



練習問題

練習

曲線 $y=x^{2}-\dfrac{5}{2}x$ と $y=\dfrac{1}{2}x$ で囲まれた部分を,直線 $y=\dfrac{1}{2}x$ の周りに回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ.

練習の解答



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