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斜軸回転体の体積(基本編)

積分(数学Ⅲ)(入試の標準) ★★★★


アイキャッチ

数学Ⅲの回転体で,$x$ 軸,$y$ 軸回転よりも難易度が高い問題です.

入試出題頻度はそこまで高くないので,数学Ⅲの対策が間に合っていなければ飛ばしてしまってもいいと思います.

まず,斜軸回転体の問題の解き方は主に3つありますので,以下に整理します.



斜軸回転体の体積の求め方まとめ

ポイント

斜軸回転体の体積の求め方

回転軸に垂直に積分する方法(基本編)(このページです!)

複素数の回転利用(応用編)

傘型積分(応用編)


今回は教科書にも記述があるポピュラーなⅠの方法の紹介です.

基本といっても,アプローチは $x$ 軸や $y$ 軸回転にはないもので,難しめですので心していきましょう.

下の例題で解説します.

例題と練習問題

例題

例題

$x\geqq 0$ で $y=x$,$y=x^3$ で囲まれた部分を $y=x$ の周りに1回転してできた立体の体積 $V$ を求めよ.


解説と解答

斜軸回転例題の図1

図のように,黄色の箇所を $y=x$ を軸にして1回転します.

曲線上のどこかに $\rm P$ をとり,垂線を下ろした交点を $\rm H$ とします.

斜軸回転例題の図2

図のように ${\rm OH}=t$,${\rm PH}=r$ とすれば,回転体の体積は $r$ を半径とした円の面積を $t$ で積分すればいいはずです.

$\displaystyle V=\int_{0}^{\sqrt{2}}r^{2}\pi \,dt$ $\cdots$ ①

$r$ を $t$ の関数として表現できれば簡単なのですが,なかなかうまくいかないので,$r$ も $t$ も違う文字(なんでもいいですが今回は $x$ )で媒介変数表示をします.

斜軸回転例題の図3

図をよく見て考えます.$\rm P$$(x,x^3)$ とすれば,$\rm PQ$,$\rm OQ$ に関して

$\displaystyle \begin{cases}x-x^{3}=\sqrt{2}r \\ t+r=\sqrt{2}x\end{cases}$

となり,$r$ と $t$ をそれぞれ $x$ で表現すると

$\displaystyle \begin{cases}r=\dfrac{x-x^3}{\sqrt{2}} \ \ \cdots \ \ ☆ \\ t=\sqrt{2}x-r=\dfrac{x+x^3}{\sqrt{2}}\end{cases}$

となる.これを使って①を置換積分します.

 $V$

$\displaystyle =\int_{0}^{\sqrt{2}}r^{2}\pi \,dt$

$\displaystyle =\int_{0}^{1}\left(\dfrac{x-x^3}{\sqrt{2}}\right)^{2}\pi \,\dfrac{dt}{dx}dx$ ← $x$ で置換

$\displaystyle =\pi\int_{0}^{1}\left(\dfrac{x^{2}-2x^{4}+x^{6}}{2}\right) \,\dfrac{1+3x^2}{\sqrt{2}}dx$

$\displaystyle =\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}\int_{0}^{1}(3x^{8}-5x^{6}+x^{4}+x^{2})\,dx$

$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{2}\pi}{105}}$

※ 上の☆は点と直線の距離公式で出してもいいですね.

練習問題

練習

$y=\sqrt{3}x^{2}$ と $y=\sqrt{3}x$ で囲まれた部分を $y=\sqrt{3}x$ の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ.

解答

斜軸回転練習の図1

図のように,$\rm P$$(x,\sqrt{3}x^2)$ として,${\rm OH}=t$,${\rm PH}=r$ とする.

斜軸回転練習の図2

図から,$\rm PQ$,$\rm OQ$ に関して

$\displaystyle \begin{cases}\sqrt{3}x-\sqrt{3}x^{2}=2r \\ t+\sqrt{3}r=2x\end{cases}$

$r$ と $t$ をそれぞれ $x$ で表現すると

$\displaystyle \begin{cases}r=\dfrac{\sqrt{3}x-\sqrt{3}x^2}{2} \\ t=2x-\sqrt{3}r=\dfrac{x+3x^{2}}{2}\end{cases}$

となる.これより

 $V$

$\displaystyle =\int_{0}^{2}r^{2}\pi \,dt$

$\displaystyle =\pi\int_{0}^{1}r^{2} \,\dfrac{dt}{dx}dx$

$\displaystyle =\pi\int_{0}^{1}\left(\dfrac{\sqrt{3}x-\sqrt{3}x^2}{2}\right)^{2}\dfrac{1+6x}{2} \,dx$

$\displaystyle =\dfrac{3\pi}{8}\int_{0}^{1}(x-x^2)^{2}(6x+1)\,dx$

$\displaystyle =\dfrac{3\pi}{8}\int_{0}^{1}(6x^{5}-11x^{4}+4x^{3}+x^{2})\,dx$

$\displaystyle =\dfrac{3\pi}{8}\left(1-\dfrac{11}{5}+1+\dfrac{1}{3}\right)$

$=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{20}}$

※ この問題こそ $r$ を点と直線の距離公式で出してもいいですね.