斜軸回転体の体積（応用編：複素数の回転利用）
数学Ⅲ既習者(難関大対策) ★★★★
斜軸回転の問題は，斜軸回転体の体積(基本編)が基本です．
ここでは，複素数の回転を使って解く方法を扱います．
斜軸回転体の体積の求め方まとめ
Ⅰの基本編の考え方が難しいと感じる人には，Ⅱの複素数の回転を使って回転し，強引に $\boldsymbol{x}$ 軸回転の問題として解く方法をオススメします．
解く手間もそこまで変わらず，発想がわかりやすいです．
複素数の回転利用での解き方
複素数の回転利用での解き方
１．曲線を斜軸の傾いた角度だけ，マイナス方向に回転させる．
２．$x$ 軸回転体の問題として解く．
この方法では，曲線を複素数の回転によって回転させる知識と計算力が必要です．
多くの場合で媒介変数表示になると思います．
例題と練習問題
例題
例題
$x\geqq 0$ で $y=x$，$y=x^3$ で囲まれた部分を $y=x$ の周りに1回転してできた立体の体積 $V$ を求めよ．
解説と解答
図の黄色の部分が該当箇所です．
$y=x^3$ を原点を中心に $-45$° 回転すれば，$x$ 軸回転の問題になるはずです．
$y=x^3$ 上の $(t,t^3)$ を $-45$°回転した点を $(X,Y)$ とします．
そこで，これらを一度複素数平面上に起こして，$t+t^{3}i$ を $-45$° 回転した点を $X+Yi$ とします．
$X+Yi$
$=(t+t^{3}i)\left\{\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}$
$=(t+t^{3}i)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\right)$
$=\dfrac{t^{3}+t}{\sqrt{2}}+\dfrac{t^{3}-t}{\sqrt{2}}i$
となるので，回転した赤い曲線は
$\color{red}{\begin{cases}X=\dfrac{t^{3}+t}{\sqrt{2}} \\ Y=\dfrac{t^{3}-t}{\sqrt{2}}\end{cases}}$
となり，媒介変数表示できました．求める体積は，半径 $Y$ の円を $X$ で積分すればいいので
$V$
$\displaystyle =\int_{0}^{\sqrt{2}}Y^{2}\pi \,dX$
$\displaystyle =\pi\int_{0}^{1}\left(\dfrac{t^{3}-t}{\sqrt{2}}\right)^{2} \,\dfrac{dX}{dt}dt$ ← $t$ で置換
$\displaystyle =\pi\int_{0}^{1}\left(\dfrac{t^{6}-2t^{4}+t^{2}}{2}\right) \,\dfrac{3t^{2}+1}{\sqrt{2}}dt$
$\displaystyle =\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}\int_{0}^{1}(3t^{8}-5t^{6}+t^{4}+t^{2})\,dt$
$=\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{2}\pi}{105}}$
練習問題
練習
曲線 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ と $x$ 軸，$y$ 軸で囲まれた部分を，直線 $y=x$ の周りに回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ．
解答
$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ を $y$ について解くと，$y=1+x-2\sqrt{x}$
図のピンクの回転体の体積を求めます．そのために
底面積 $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\pi$，高さ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ の円錐から，図の黄色の回転体の体積を引きます．黄色の回転体の体積の体積を求めるために，$y=1+x-2\sqrt{x}$ を原点を中心に $-45$° 回転します．
図のように，$y=1+x-2\sqrt{x}$ 上の $(t,1+t-2\sqrt{t})$ を $-45$°回転した点を $(X,Y)$ とします．
複素数平面上に起こして，$t+(1+t-2\sqrt{t})i$ を $-45$° 回転した点を $X+Yi$ とします．
$X+Yi$
$=\{t+(1+t-2\sqrt{t})i\}\left\{\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}$
$=\{t+(1+t-2\sqrt{t})i\}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\right)$
$=\dfrac{2t-2\sqrt{t}+1}{\sqrt{2}}+\dfrac{-2\sqrt{t}+1}{\sqrt{2}}i$
となるので
$\begin{cases}X=\dfrac{2t-2\sqrt{t}+1}{\sqrt{2}} \\ Y=\dfrac{-2\sqrt{t}+1}{\sqrt{2}}\end{cases}$
(ここから例題と同じように積分してもいいのですが，$t$ を消します．)
$Y=\dfrac{-2\sqrt{t}+1}{\sqrt{2}} \Longleftrightarrow \sqrt{t}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}Y+\dfrac{1}{2}$ より
$X$
$=\sqrt{2}(\sqrt{t})^{2}+\dfrac{-2\sqrt{t}+1}{\sqrt{2}}$
$=\sqrt{2}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}Y+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+Y$
$=\dfrac{1}{\sqrt{2}}Y^{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
$\Longleftrightarrow Y^{2}=\sqrt{2}X-\dfrac{1}{2}$ ←放物線
よって
$V$
$\displaystyle =(円錐)-\int_{\frac{\sqrt{2}}{4}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}Y^{2}\pi \,dX$
$\displaystyle =\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\pi \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{1}{3}-\pi\int_{\frac{\sqrt{2}}{4}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left(\sqrt{2}X-\dfrac{1}{2}\right) \,dX$
$\displaystyle =\dfrac{\sqrt{2}}{12}\pi-\pi \left[\frac{\sqrt{2}}{2}X^{2}-\frac{1}{2}X\right]_{\frac{\sqrt{2}}{4}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}}{48}\pi}$