媒介変数表示された曲線のグラフの面積(応用編)
積分(数学Ⅲ)(入試の標準) ★★★★
媒介変数表示された曲線のグラフの面積の求め方(応用編)を解説します．
応用編はグラフの折り返しがある(1つの $x$ に複数の $y$ が対応する)タイプを扱います．
媒介変数表示された曲線のグラフの面積の求め方
ポイント
媒介変数表示された曲線のグラフの面積の求め方
STEP1：媒介変数表示された曲線のグラフを書く．正負がわかれば増減表が不要な場合もあります．
STEP2：該当範囲を積分する．ほとんどの場合，媒介変数で置換積分します．グラフの折り返しの有無に注意．
グラフに折り返しがある場合は，媒介変数の折り返す前の区間の $y$ を $y_{1}$，折り返した後の区間を $y_{2}$ などのように，名前をつけるといいと思います．
※ $x=r(t)\cos t$，$y=r(t)\sin t$ という表記の場合，扇形積分という方法もあります．
当ページは応用編なので折り返しがあるパターンを扱います．
下の例題で確認していきます．
例題と練習問題
例題
例題
$t$ はすべての実数をとる．
$\begin{cases}x=-t^{2}+2t+3 \\ y=-t^{2}+4\end{cases}$
で表された曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．
講義
下で解説しながら計算していきます．
解答
(1)
$\dfrac{dx}{dt}=-2t+2$，$\dfrac{dy}{dt}=-2t$ より
増減表を書くと
| $t$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\dfrac{dx}{dt}$ | $+$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $x$ | ↗︎ | $3$ | ↗︎ | $4$ | ↘︎ |
| $\dfrac{dy}{dt}$ | $+$ | $0$ | $-$ | $-$ | $-$ |
| $y$ | ↗︎ | $4$ | ↘︎ | $3$ | ↘︎ |
求める部分は以下の黄色の部分．
これを求めるために，$-2\leqq t \leqq 1$ の区間の $y$ を $\color{red}{y_{1}}$ とし，$1\leqq t \leqq 2$ の区間の $y$ を $\color{blue}{y_{2}}$ とすれば，$x$ 軸と $\color{red}{y_{1}}$ で囲まれた部分の面積は
上の赤い箇所の面積になり，これから $x$ 軸と $\color{blue}{y_{2}}$ で囲まれた部分の面積
を引けばいい．
求める面積 $S$ は
$\color{#ffcc00}{S}$
$=\color{red}{(赤い箇所の面積)}-\color{blue}{(青い箇所の面積)}$
$\displaystyle =\color{red}{\int_{-5}^{4}y_{1}\,dx}-\color{blue}{\int_{3}^{4}y_{2}\,dx}$
$\displaystyle =\color{red}{\int_{-2}^{1}y_{1}\dfrac{dx}{dt}\,dt}-\color{blue}{\int_{2}^{1}y_{2}\dfrac{dx}{dt}\,dt}$
$\displaystyle =\color{red}{\int_{-2}^{1}(-t^{2}+4)(-2t+2)\,dt}-\color{blue}{\int_{2}^{1}(-t^{2}+4)(-2t+2)\,dt}$
$\displaystyle =\int_{-2}^{2}(-t^{2}+4)(-2t+2)\,dt$
$\displaystyle =2\int_{-2}^{2}(t^{3}-t^{2}-4t+4)\,dt$
$\displaystyle =4\int_{0}^{2}(-t^{2}+4)\,dt$ ← 偶関数のみ残す
$\displaystyle =4\left[-\dfrac{1}{3}t^{3}+4t\right]_{0}^{2}$
$=\boldsymbol{\dfrac{64}{3}}$
練習問題
練習
曲線 $C:\begin{cases}x=(1-\cos \theta)\cos \theta \\ y=(1-\cos \theta)\sin \theta\end{cases}$ $(0\leqq \theta \leqq \pi)$
と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．
練習の解答
$\dfrac{dx}{d\theta}=\sin\theta\cos\theta+(1-\cos\theta)(-\sin\theta)$
$=\sin\theta(2\cos\theta-1)$
$\dfrac{dy}{d\theta}=\sin^{2}\theta+(1-\cos\theta)\cos\theta$
$=-2\cos^{2}\theta+\cos\theta+1$
$=-(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)$
増減表を書くと
| $\theta$ | $0$ | $\cdots$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\cdots$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ | $\cdots$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\dfrac{dx}{d\theta}$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ |
| $x$ | $0$ | ↗︎ | $\dfrac{1}{4}$ | ↘︎ | $-\dfrac{3}{4}$ | ↘︎ | $-2$ |
| $\dfrac{dy}{d\theta}$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ | $-$ |
| $y$ | $0$ | ↗︎ | $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ | ↗︎ | $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ | ↘︎ | $0$ |
グラフを書くと
$\dfrac{\pi}{3}\leqq \theta \leqq \pi$ の区間の $y$ を $y_{1}$ とし，$0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{3}$ の区間の $y$ を $y_{2}$ とすれば，求める面積は
$S$
$\displaystyle =\int_{-2}^{\frac{1}{4}}y_{1}\,dx-\int_{0}^{\frac{1}{4}}y_{2}\,dxs$
$\displaystyle =\int_{\pi}^{\frac{\pi}{3}}y_{1}\dfrac{dx}{d\theta}\,d\theta-\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}y_{2}\dfrac{dx}{d\theta}\,d\theta$
$\displaystyle =\int_{\pi}^{\frac{\pi}{3}}\{(1-\cos \theta)\sin \theta\}\sin\theta(2\cos\theta-1)\,d\theta-\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\{(1-\cos \theta)\sin \theta\}\sin\theta(2\cos\theta-1)\,d\theta$
$\displaystyle =\int_{\pi}^{\frac{\pi}{3}}\sin^{2}\theta(1-\cos \theta)(2\cos\theta-1)\,d\theta+\int_{\frac{\pi}{3}}^{0}\sin^{2}\theta(1-\cos \theta)(2\cos\theta-1)\,d\theta$
$\displaystyle =\int_{\pi}^{0}\sin^{2}\theta(-2\cos^{2}\theta+3\cos\theta-1)\,d\theta$
$\displaystyle =\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta(2\cos^{2}\theta-3\cos\theta+1)\,d\theta$
$\displaystyle =\int_{0}^{\pi}\left(\dfrac{1}{2}\sin^{2}2\theta-3\sin^{2}\theta\cos\theta+\dfrac{1-\cos2\theta}{2}\right)\,d\theta$
$\displaystyle =\int_{0}^{\pi}\left(\dfrac{1-\cos4\theta}{4}-3\sin^{2}\theta\cos\theta+\dfrac{1-\cos2\theta}{2}\right)\,d\theta$
$\displaystyle =\left[\dfrac{3}{4}\theta-\dfrac{1}{16}\sin4\theta-\sin^{3}\theta-\dfrac{1}{4}\sin 2\theta\right]_{0}^{\pi}$
$=\boldsymbol{\dfrac{3}{4}\pi}$
※カージオイドと言われる曲線です．
※ この曲線は $r(\theta)=1-\cos\theta$ とすれば，$x=r(\theta)\cos \theta$，$y=r(\theta)\sin \theta$ という表記にできるので，扇形積分という方法もあります．