期待値と分散(連続型確率変数)
確率統計(数学B)(教科書範囲) ★★
連続型確率変数の期待値と分散について扱います．
確率密度関数の知識が必要です．
期待値と分散(連続型確率変数)
離散型確率変数の期待値は数学Aで，分散は数学Bで扱いました．
同様に連続型の確率変数に対してもこれらを定義します．
期待値と分散(連続型確率変数)
連続型確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を，確率密度関数 $f(x)$ を用いて以下で定義する．
$\displaystyle \boldsymbol{E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\,dx=\mu}$
$\displaystyle \boldsymbol{V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}f(x)\,dx}$
※ 離散型と似ていますね．同様に標準偏差も $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$ となります．
※ 積分範囲の上端と下端が $\infty$ で表されるのは大学での表記ですが，こちらが一般的です．
次章以降で離散型でもあった関連公式を挙げていきますが，証明は上記にあるように積分範囲の上端と下端に $\infty$ を含んだまま実行していきます．
分散のもう1つの出し方
離散型の場合と同様に，連続型でも同様の公式が存在します．
分散に関する定理
確率変数(連続型) $X$ の分散 $V(X)$ に関して
$\boldsymbol{\displaystyle V(X)=E(X^2)-\left\{E(X)\right\}^{2}}$
が成り立つ．
証明
$\displaystyle V(X)$
$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}f(x)\,dx (\mu=E(X))$
$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x)\,dx-2\mu\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\,dx+\mu^{2}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx$
$\displaystyle =E(X^2)-2\left\{E(X)\right\}^{2}+\left\{E(X)\right\}^{2}$
$\displaystyle =E(X^2)-\left\{E(X)\right\}^{2}$
確率変数の変換をした期待値と分散
離散型の場合と同様に，連続型でも同様の公式が存在します．
確率変数(連続型)の変換をした期待値と分散
確率変数 $X$ を $Y=aX+b$ ( $a$，$b$ は定数)で変換した確率変数 $Y$ の期待値と $E(Y)$ と分散 $V(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ は
$\boldsymbol{\displaystyle E(Y)=aE(X)+b}$
$\boldsymbol{\displaystyle V(Y)=a^{2}V(X)}$
$\boldsymbol{\displaystyle \sigma(Y)=|a|\sigma(X)}$
証明
$\displaystyle E(Y)$
$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}(ax+b)f(x)\,dx$
$\displaystyle =a\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\,dx+b\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx$
$\displaystyle =aE(X)+b$
$\displaystyle V(Y)$
$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}\left(y-E(Y)\right)^{2}f(x)\,dx$
$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}\left\{ax+b-(a\mu +b)\right\}^{2}f(x)\,dx (\mu=E(X))$
$\displaystyle =a^{2}\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}f(x)\,dx$
$\displaystyle =a^{2}V(X)$
$\displaystyle \sigma(Y)=|a|\sigma(X)$ に関しては離散型の場合と同様なので割愛します．
例題と練習問題
例題
例題
連続型確率変数 $X$ の取り得る値の範囲が $1\leqq X\leqq 3$ であり，その確率密度関数が
$f(x)=1-|x-2|$
で表されている．$X$ の期待値 $E(X)$ の値と，分散 $V(X)$ の値を求めよ．
(2022横浜市立大データサイエンス学部改)
講義
まずは絶対値を外すことです．期待値は定義通り計算しますが，分散はもう1つの出し方で出すのがオススメです．
解答
(1)
$f(x)$
$=\begin{cases}1-(x-2) \ (x\geqq 2) \\ 1-(2-x) \ (x<2)\end{cases}$
$=\begin{cases}-x+3 \ (x\geqq 2) \\ x-1 \ (x<2)\end{cases}$
$E(X)$
$\displaystyle =\int_{1}^{2}x(x-1)\,dx+\int_{2}^{3}x(-x+3)\,dx$
$=\left[\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2}x^{2}\right]_{1}^{2}+\left[-\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}\right]_{2}^{3}$
$=\boldsymbol{2}$
$E(X^2)$
$\displaystyle =\int_{1}^{2}x^{2}(x-1)\,dx+\int_{2}^{3}x^{2}(-x+3)\,dx$
$=\left[\dfrac{1}{4}x^{4}-\dfrac{1}{3}x^{3}\right]_{1}^{2}+\left[-\dfrac{1}{4}x^{4}+x^{3}\right]_{2}^{3}$
$=\dfrac{25}{6}$
$V(X)$
$\displaystyle =E(X^2)-\left\{E(X)\right\}^{2}$
$\displaystyle =\dfrac{25}{6}-2^{2}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}}$
練習問題
練習
$a$ を実数とする．連続型確率変数 $X$ の取り得る値の範囲が $0\leqq X\leqq 1$ であり，その確率密度関数が
$f(x)=ax(1-x)$
で表されている．次の問いに答えよ．
(1) $a$ の値を求めよ．
(2) 確率変数 $Y=10X-25$ を考える．$Y$ の期待値 $E(Y)$ の値と，分散 $V(Y)$ の値を求めよ．
(2021横浜市立大データサイエンス学部改)
練習の解答
(1)
$\displaystyle \int_{0}^{1}ax(1-x)\,dx$
$\displaystyle =-a\int_{0}^{1}x(x-1)\,dx$
$=-a\cdot \dfrac{-1}{6}$ ←1/6公式
$=\dfrac{a}{6}=1$
$\therefore \ \boldsymbol{a=6}$
(2)
$E(X)$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}6x^{2}(1-x)\,dx$
$\displaystyle =\left[2x^{3}-\dfrac{6}{4}x^{4}\right]_{0}^{1}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{2}$
$E(Y)$
$\displaystyle =10E(X)-25$
$=\boldsymbol{-20}$
$E(X^{2})$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}6x^{3}(1-x)\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{3}{2}x^{4}-\dfrac{6}{5}x^{5}\right]_{0}^{1}$
$\displaystyle =\dfrac{3}{10}$
$V(X)$
$\displaystyle =E(X^2)-\left\{E(X)\right\}^{2}$
$\displaystyle =\dfrac{3}{10}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{20}$
$V(Y)$
$\displaystyle =100V(X)$
$=\boldsymbol{5}$