期待値
確率(教科書範囲) ★★★
数学Aの確率で扱う期待値(離散型の確率変数のみ)について扱います．
期待値の定義
期待値の定義
確率変数 $X$ の実現値と確率が以下のように与えられているとき
| $X$ | $x_{1}$ $x_{2}$ $\cdots$ $x_{n}$ | 計 |
|---|---|---|
| $P$ | $p_{1}$ $p_{2}$ $\cdots$ $p_{n}$ | $1$ |
上の表を確率分布表といい，期待値 $E(X)$ を
$\begin{align}\boldsymbol{E(X)}&\boldsymbol{=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots+x_{n}p_{n}} \\ &\boldsymbol{=\sum_{k=1}^{n}x_{k}p_{k}}\end{align}$
で定義する．
※ 2行目でシグマ記号を使っています．
※ $X$ を確率変数といいます．$X$ の期待値であることを強調しない場合単に $E$ と表すこともあります．
※ 期待値の $E$ は英語のexpectationの $E$ です．
意味
期待値は，その確率変数の，確率を重み付けた平均のことです．
投資やギャンブルをやる人は特に日常的に使っている数学的概念だと思います．
例題と練習問題
例題
例題
以下の宝くじの当選金額の期待値を求めよ．
出典：宝くじ公式サイト
| 等級 | 当選金額 | 確率 |
|---|---|---|
| 1等 | 5億円 | $0.0000001$ |
| 1等前後賞 | 1億円 | $0.0000002$ |
| 1等組違い賞 | 10万円 | $0.00001$ |
| 2等 | 5万円 | $0.00001$ |
| 3等 | 1万円 | $0.001$ |
| 4等 | 3000円 | $0.01$ |
| 5等 | 300円 | $0.1$ |
講義
計算が大変ですが，実用性重視で現実的な話題にしました．上の余事象が外れ(0円)とします．
解答
(1) 当選金額を $X$ とすると
$E(X)$
$=5$ 億 $\times \ 0.0000001$
$+1$ 億 $\times \ 0.0000002$
$+10$ 万 $\times \ 0.00001$
$+5$ 万 $\times \ 0.00001$
$+1$ 万 $\times \ 0.001$
$+3000 \ \times \ 0.01$
$+300 \ \times \ 0.1$
$=50+20+1+0.5+10+30+30$
$=\boldsymbol{141}$
※ 宝くじ $300$ 円分買うと，平均して $141$ 円返ってくるという意味です．実はギャンブルの中で，宝くじはトップクラスに還元が低い水準です．
練習問題
練習
(1) 1枚の硬貨を5回投げたときの表が出る回数の期待値を求めよ．
(2) 袋の中に赤球が4個，白球が6個入っている．これから同時に3個取り出すとき，取り出す赤球の個数の期待値を求めよ．
練習の解答
(1) 表が出る回数を $X$ とすると
$E(X)$
$=0\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}+1\times \hspace{-0.5mm} _{5}{\rm C}_{1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}$
$+2\times\hspace{-0.5mm} _{5}{\rm C}_{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}+3\times\hspace{-0.5mm} _{5}{\rm C}_{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\dfrac{1}{2}$
$+4\times\hspace{-0.5mm} _{5}{\rm C}_{4}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}\dfrac{1}{2}+5\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}$
$=\boldsymbol{\dfrac{5}{2}}$
※ 数学Bになりますが確率変数の和の期待値の練習問題にも同一の問題があり，リンク先の知識を使うと楽に解答できます．
※ 二項分布であることと，二項分布の期待値の公式を知っていると即答できます．
(2) 取り出す赤球の個数を $X$ とすると
$P(X=0)$
$=\dfrac{_{6}{\rm C}_{3}}{_{10}{\rm C}_{3}}$
$=\dfrac{20}{120}$
$P(X=1)$
$=\dfrac{_{4}{\rm C}_{1} \cdot \ _{6}{\rm C}_{2}}{_{10}{\rm C}_{3}}$
$=\dfrac{60}{120}$
$P(X=3)$
$=\dfrac{_{4}{\rm C}_{3}}{_{10}{\rm C}_{3}}$
$=\dfrac{4}{120}$
$P(X=2)$
$=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)$ ←もちろん直接求めてもOK
$=\dfrac{36}{120}$
$E(X)$
$=1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)$
$=\dfrac{60+72+12}{120}$
$=\dfrac{144}{120}$
$=\boldsymbol{\dfrac{6}{5}}$
※ 大学の統計学の内容の超幾何分布に従うので，その公式を知っていると答えのみならば $E(X)=\dfrac{3\cdot4}{10}=\boldsymbol{\dfrac{6}{5}}$ で速いです．