証明

確率変数 $X$ の実現値を $x_{k}$ $(k=1,2,\cdots,n)$ とします．すると $y_{k}=ax_{k}+b$ となります．

　$\displaystyle E(Y)$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}y_{k}p_{k}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(ax_{k}+b)p_{k}$

$\displaystyle =a\sum_{k=1}^{n}x_{k}p_{k}+b\sum_{k=1}^{n}p_{k}$

$\displaystyle =aE(X)+b$

　$\displaystyle V(Y)$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\left(y_{k}-E(Y)\right)^{2}p_{k}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\left\{ax_{k}+b-(aE(X)+b)\right\}^{2}p_{k}$

$\displaystyle =a^{2}\sum_{k=1}^{n}\left\{x_{k}-E(X)\right\}^{2}p_{k}$

$\displaystyle =a^{2}V(X)$

　$\displaystyle \sigma(Y)$

$\displaystyle =\sqrt{V(Y)}$

$\displaystyle =\sqrt{a^{2}V(X)}$

$\displaystyle =\sqrt{a^{2}}\sqrt{V(X)}$

$\displaystyle =|a|\sigma(X)$　← $\sqrt{A^{2}}=|A|$

講義

まずは $E(X)$ を出せば，上の公式によりそれぞれ求まります． $V(X)$ は今回は求める必要がありません．

解答

　$E(X)$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{6}k\cdot P(X=k)$

$\displaystyle =\dfrac{1}{6}\sum_{k=1}^{6}k$

$\displaystyle =\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot7$　←Σ公式

$=\dfrac{7}{2}$

(1)

　$E(Y)$

$=E(1000X+3500)$

$=1000E(X)+3500$

$=\boldsymbol{7000}$

　$E(Z)$

$=E(2000X)$

$=2000E(X)$

$=\boldsymbol{7000}$

(2)

　$V(Y)$

$=V(1000X+3500)$

$=1000^{2}V(X)$

　$V(Z)$

$=V(2000X)$

$=2000^{2}V(X)$

より，$V(Y)<V(Z)$．$\boldsymbol{V(Y)}$ の方が小さい．

※ $V(X)$ を求める問題は分散と標準偏差(離散型確率変数)の練習問題にあります．