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二項分布

確率統計(数学B)(教科書範囲) ★★

アイキャッチ

二項分布について,期待値分散も含めて一通り扱います.

二項分布

数学Aの反復試行の確率では,繰り返し行う独立な試行の確率を考えました.

この反復試行の確率で表現される確率分布を二項分布(binomial distribution)といいます.

二項分布

独立試行において,1回の試行で事象 $A$ が起こる確率を $p$ とする.この試行を $n$ 回繰り返し行うとき,事象 $A$ がちょうど $k$ 回起こる確率

$\boldsymbol{P(X=k)=\hspace{-0.5mm} _{n}{\rm C}_{k} p^{k}(1-p)^{n-k}}$

で表現される確率分布を二項分布といい,$\boldsymbol{B(n,p)}$ で表す.

補足

すべての確率の和は $1$

上の確率では,$k=0,1,\cdots,n$ の値を取りますが,二項定理によればこれらの和が $1$ になることを確認できます.

 $\displaystyle \ \sum_{k=0}^{n}\hspace{-0.5mm} _{n}{\rm C}_{k} p^{k}(1-p)^{n-k}$

$=\{p+(1-p)\}^n$

$=1$


今後,正規分布やポアソン分布等,一般には様々な種類の確率分布が登場しますが,二項分布は基礎的なものであり今後のために重要です.

二項分布の期待値と分散

二項分布について,期待値分散を扱います.

二項分布の期待値と分散の求め方

二項分布の期待値と分散の求め方

Ⅰ 確率変数の和にする方法

Ⅱ 直接求める方法

Ⅲ $(px+q)^{n}$ を二項定理で展開して微分で求める方法

Ⅳ 積率母関数を使う方法


Ⅰが簡単なので万人にオススメです.Ⅰの概念(和の期待値独立な確率変数の和の分散)が未習の場合等,Ⅱの直接求める方法も大切です.Ⅲは興味がある方向け,Ⅳは大学範囲です.

今回は以下でⅠとⅡを言及します.

二項分布の期待値

二項分布の期待値

確率変数 $X$ が 二項分布 $B(n,p)$ に従うとき

$\boldsymbol{\displaystyle E(X)=np}$


Ⅰでの証明

$k$ 回目( $1\leqq k \leqq n$ )で表が出れば $X_{k}=1$,裏が出れば $X_{k}=0$ とすると,$E(X_{k})=1\cdotp+0\cdot(1-p)=p$ より,求める期待値は

 $E(X)$

$=E(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n})$

$=E(X_{1})+E(X_{2})+\cdots+E(X_{n})$ ←和の期待値

$=np$

直接求める方法

Ⅱでの証明(直接求める方法)

 $E(X)$

$\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}k\cdot \hspace{-0.5mm} _{n}{\rm C}_{k} p^{k}(1-p)^{n-k}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k\cdot \hspace{-0.5mm} _{n}{\rm C}_{k} p^{k}(1-p)^{n-k}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k}(1-p)^{n-k}$

$\displaystyle =np\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k}$

$\displaystyle =np\sum_{k=1}^{n}\hspace{-0.5mm} _{n-1}{\rm C}_{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k}$

$=np$


以下,分散の変換しない方法はさらにテクニカルです.

二項分布の分散

二項分布の分散

確率変数 $X$ が 二項分布 $B(n,p)$ に従うとき

$\boldsymbol{\displaystyle V(X)=np(1-p)}$


Ⅰでの証明

$k$ 回目( $1\leqq k \leqq n$ )で表が出れば $X_{k}=1$,裏が出れば $X_{k}=0$ とすると,$E(X_{k})=E(X_{k}^{2})=1\cdot p+0\cdot(1-p)=p$ より,$V(X_{k})=E(X_{k}^{2})-\left\{E(X_{k})\right\}^{2}=p(1-p)$.

 $V(X)$

$=V(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n})$

$=V(X_{1})+V(X_{2})+\cdots+V(X_{n})$ ( $\because \ X_{1}$,$X_{2}$,$\cdots$,$X_{n}$ は独立) ←独立な確率変数の分散

$=np(1-p)$

直接求める方法

Ⅱでの証明(直接求める方法)

 $V(X)$

$=E(X^{2})-\left\{E(X)\right\}^{2}$

$\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}k^{2}\cdot \hspace{-0.5mm} _{n}{\rm C}_{k} p^{k}(1-p)^{n-k}-(np)^2$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k^{2}\cdot \hspace{-0.5mm} _{n}{\rm C}_{k} p^{k}(1-p)^{n-k}-n^{2}p^{2}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\{k(k-1)\cdot \hspace{-0.5mm} _{n}{\rm C}_{k} p^{k}(1-p)^{n-k}+k\cdot \hspace{-0.5mm} _{n}{\rm C}_{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\}-n^{2}p^{2}$

$\displaystyle =\sum_{k=2}^{n}k(k-1)\cdot \hspace{-0.5mm} _{n}{\rm C}_{k} p^{k}(1-p)^{n-k}+E(X)-n^{2}p^{2}$

$\displaystyle =\sum_{k=2}^{n}\dfrac{n!}{(k-2)!(n-k)!}p^{k}(1-p)^{n-k}+np-n^{2}p^{2}$

$\displaystyle =n(n-1)p^{2}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(n-2)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-2}(1-p)^{n-k}+np-n^{2}p^{2}$

$\displaystyle =n(n-1)p^{2}+np-n^{2}p^{2}$

$=np(1-p)$

例題と練習問題

例題

例題

1枚の硬貨を5回投げたときの表が出る回数の期待値と分散を求めよ.


講義

今までに,期待値確率変数の和の期待値独立な確率変数の分散でも練習問題で扱ってきた話題ですが,二項分布であることを見抜けば,上の公式を利用すれば楽です.


解答

表の出る回数は二項分布 $B\left(5,\dfrac{1}{2}\right)$ に従うので

 $E(X)=5\cdot \dfrac{1}{2}=\boldsymbol{\dfrac{5}{2}}$

 $V(X)=5\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\boldsymbol{\dfrac{5}{4}}$

練習問題

練習

袋の中に赤球が $4$ 個,白球が $6$ 個入っている.$1$ 個取り出し,色を調べてから袋に戻す.これを $100$ 回繰り返すとき,取り出す赤球の個数 $X$ の期待値と標準偏差を求めよ.

練習の解答

$X$ は二項分布 $B\left(100,\dfrac{3}{5}\right)$ に従うので

 $E(X)=100\cdot \dfrac{3}{5}=\boldsymbol{60}$

 $V(X)=100\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{5}=24$

 $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}=\boldsymbol{2\sqrt{6}}$