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反復試行の確率

確率(教科書範囲) ★★★


アイキャッチ

反復試行の確率について扱います.

定期試験,大学受験で頻出ですし,統計学では二項分布,多項分布の基礎になります.

基本的なタイプから事象が3つある場合まで一通り扱います.



反復試行の確率

コインを4回投げて,2回表が出る確率を考えます.

4回の表(H)と裏(T)の内訳は

H H T T

H T H T

H T T H

T H H T

T H T H

T T H H

上のように6通りあります.本質は,H×2,T×2の同じものを含む順列なので

$\dfrac{4!}{2!2!}=\hspace{-0.5mm} _{4}{\rm C}_{2}$ (通り)

それぞれ2回表,2回裏が出る確率は $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}$ より,求める確率は

$\hspace{-0.5mm} _{4}{\rm C}_{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}$

です.これを一般化してまとめます.

ポイント

反復試行の確率

独立試行において,1回の試行で事象 $A$ が起こる確率を $p$ とする.この試行を $n$ 回繰り返し行うとき,事象 $A$ がちょうど $k$ 回起こる確率は

$\boldsymbol{\hspace{-0.5mm} _{n}{\rm C}_{k} p^{k}(1-p)^{n-k}}$

補足

すべての確率の和は $1$

数学ⅡB既習者向けですが,上の確率では,$k=0,1,\cdots,n$ の値を取りますが,二項定理によればこれらの和が $1$ になることを確認できます.

 $\displaystyle \ \sum_{k=0}^{n}\hspace{-0.5mm} _{n}{\rm C}_{k} p^{k}(1-p)^{n-k}$

$=\{p+(1-p)\}^n$

$=1$


事象が $A$ か $A$ でないかの2択しかないということに注意です.

コンビネーションで丸暗記するというより,同じものを含む順列で総数を考えると,事象が $A$ か $B$ か $A$ でも $B$ でもないかの3択ある応用問題に対応しやすいです.

次の章ではやや発展的ですが,この応用問題について考察します.

事象が3つある場合の反復試行の確率

事象が4つ以上ある場合も本質的に同じなので,3つの場合を考えます.

サイコロを4回投げて,2回奇数,1回合成数(4か6),1回2が出る場合が出る確率を考えます.

4回の奇数と合成数と2の内訳は

奇 奇 合 2

奇 奇 2 合

奇 合 奇 2

$\vdots$

2 奇 合 奇

2 合 奇 奇

上は,奇×2,合×1,2×1の同じものを含む順列なので

$\dfrac{4!}{2!1!1!}$ (通り)

それぞれ奇×2,合×1,2×1の確率は $\left(\dfrac{3}{6}\right)^{2}\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{1}{6}$ より,求める確率は

$\dfrac{4!}{2!1!1!}\left(\dfrac{3}{6}\right)^{2}\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{1}{6}$

これを一般化してまとめます.

ポイント

事象が3つある場合の反復試行の確率の手順

独立試行において,1回の試行で事象 $A$ が起こる確率を $p$,1回の試行で事象 $B$ が起こる確率を $q$,1回の試行で事象 $C$ が起こる確率を $r$ とする.この試行を $n$ 回繰り返し行うとき,事象 $A$,$B$,$C$ それぞれが $s$ 回,$t$ 回,$n-s-t$ 回起こる確率は

$\boldsymbol{\dfrac{n!}{s!t!(n-s-t)!}p^{s}q^{t}r^{n-s-t}}$

※ 必ずしも $p+q+r=1$ である必要はありません.

※ 事象が4つ以上でも同様です.


例題と練習問題

例題

例題

2枚の硬貨を同時に投げる試行を5回繰り返す.

(1)2枚とも表が出ることが3回起こる確率を求めよ.

(2)2枚とも表が出ることが2回,2枚とも裏が出ることが2回起こる確率を求めよ.



講義

(1)は2枚とも表,それ以外の事象が2つになります.

(2)は2枚とも表,2枚とも裏,それ以外の事象が3つになります.


解答

2枚とも表が出る確率は $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$

(1)

$\hspace{-0.5mm} _{5}{\rm C}_{3}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\boldsymbol{\dfrac{45}{512}}$


(2)

2枚とも裏が出る確率は $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$.それ以外の確率は $1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$.求める確率は

$\dfrac{5!}{2!2!1!}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}\dfrac{1}{2}=\boldsymbol{\dfrac{15}{256}}$

※ $\hspace{-0.5mm} _{5}{\rm C}_{2}\cdot \hspace{-0.5mm} _{3}{\rm C}_{2}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}\dfrac{1}{2}$ として,同じものを含む順列を複数のコンビネーションで表現してももちろんOKです.

練習問題

練習1

赤玉4個,白玉8個入っているは袋から,1個取り出して色を調べもとの袋に戻すことを5回繰り返す.

(1)少なくとも2回赤玉が出る確率を求めよ.

(2)5回目に3度目の赤が出る確率を求めよ.


練習2

サイコロを投げて,動点 $P(x,y)$ を以下の規則で動かす.

奇数が出れば $y$ 座標を $+1$

合成数(4か6)が出れば $y$ 座標を $-1$

2が出れば $x$ 座標を $+1$

$P$ は最初に原点にあるものとする.

(1)サイコロを4回投げて $P$ が原点にいる確率を求めよ.

(2)サイコロを5回投げて $P$ が $(2,1)$ にいる確率を求めよ.

練習1の解答

(1)

 $P(少なくとも2回赤)$

$=1-P(0回赤)-P(1回赤)$

$=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{5}-\hspace{-0.5mm} _{5}{\rm C}_{1}\cdot\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{4}$

$=\boldsymbol{\dfrac{15}{256}}$

※ 少なくとも〜の確率は余事象を考えることが多いです.直接求めると少し大変です.

(2)

 $P(5回目に3度目の赤)$

$=P(4回中2回赤)\times P(1回で赤)$

$=\hspace{-0.5mm} _{4}{\rm C}_{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}\times \dfrac{1}{3}$

$=\boldsymbol{\dfrac{15}{256}}$


練習2の解答

(1)

4回中2回奇数,2回合成数が出ればいいので

$\hspace{-0.5mm} _{4}{\rm C}_{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}}$

(2)

5回中3回奇数,1回合成数,1回2が出ればいいので

$\dfrac{5!}{3!1!1!}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{6}=\boldsymbol{\dfrac{5}{36}}$