証明

確率変数 $X$，$Y$ の同時確率関数を

$P(X=x_{i}，Y=y_{j})=p_{ij}$ ( $1\leqq i \leqq n$，$1\leqq j \leqq m$ )

として

$\displaystyle P(X=x_{i})=\sum_{j=1}^{m}p_{ij}=p_{i}$

$\displaystyle P(Y=y_{j})=\sum_{i=1}^{n}p_{ij}=q_{j}$

とする．

　$\displaystyle E(XY)$

$\displaystyle =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}x_{i}y_{j}p_{ij}$

$\displaystyle =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}x_{i}y_{j}p_{i}q_{j}$　( $\because$ $X$ と $Y$ は独立)

$\displaystyle =\sum_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}\sum_{j=1}^{m}y_{j}q_{j}$

$\displaystyle =E(X)E(Y)$

証明

　$\displaystyle V(aX+bY)$

$\displaystyle =E((aX+bY)^{2})-\left\{E(aX+bY)\right\}^{2}$　←分散のもう1つの出し方

$\displaystyle =E(a^{2}X^{2}+2abXY+b^{2}Y^{2})-\left\{aE(X)+bE(Y)\right\}^{2}$

$\displaystyle =a^{2}E(X^{2})+2abE(XY)+b^{2}E(Y^{2})$

　$-\left\{a^{2}E(X)^{2}+2abE(X)E(Y)+b^{2}E(Y)^{2}\right\}$　←和の期待値

$\displaystyle =a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)+2ab\left\{E(XY)-E(X)E(Y)\right\}$

$\displaystyle =a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)$　( $\because$ $X$ と $Y$ は独立)

※ 高校では範囲外になっているようですが一般の確率論では $X$，$Y$ の共分散 $\rm{Cov}(X,Y)$ という概念があり，${\rm Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ と導くことができます．つまり，確率変数 $X$，$Y$ の独立，従属に関わらず，$V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)+2ab{\rm Cov}(X,Y)$ となります．

講義

同時分布を書いて期待値を出さなくても，周辺分布から $E(X)$ を出せば十分です．上の公式を利用します．

解答

(1)

$P(X=k,Y=l)=P(X=k)P(Y=l)$ ( $k=1,2,\cdots,6$，$l=1,2,\cdots,6$ )より，$X$ と $Y$ は独立．

　$E(X)$

$\displaystyle =(1+2+3+4+5+6)\dfrac{1}{4}$

$=\dfrac{7}{2}$

　$E(XY)$

$\displaystyle =E(X)E(Y)$　( $\because$ $X$ と $Y$ は独立)

$=\boldsymbol{\dfrac{49}{4}}$　( $\because$ $E(X)=E(Y)$ )

(2)

　$V(X)$

$=E(X^2)-\left\{E(X)\right\}^{2}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{6}k^{2}P(X=k)-\left(\dfrac{7}{2}\right)^2$

$\displaystyle =\dfrac{1}{6}\sum_{k=1}^{6}k^{2}-\dfrac{49}{4}$

$\displaystyle =\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}\cdot6\cdot7\cdot 13$　←Σ公式

$=\dfrac{35}{12}$

　$V(2X+Y)$

$\displaystyle =4V(X)+V(Y)$　( $\because$ $X$ と $Y$ は独立)

$\displaystyle =5V(X)$　( $V(X)=V(Y)$ )

$=\boldsymbol{\dfrac{175}{12}}$