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確率変数の和の期待値

確率統計(数学B)(教科書範囲) ★★★

アイキャッチ

確率変数の和の期待値について扱います.

当ページでは離散型の確率変数について扱います(連続型も同様です).

公式の証明の理解に同時分布が必要です.

確率変数の和の期待値

1変量のときの確率変数の変換をした期待値と同様に,2変量,確率変数 $X$ と $Y$ を使った期待値の変換を考えます.

一般の同時分布を使って証明を考えます.

確率変数の和の期待値

確率変数 $X$,$Y$ に関して以下が成り立つ.

$\boldsymbol{\displaystyle E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)}$

↓ $a=b=1$

$\boldsymbol{\displaystyle E(X+Y)=E(X)+E(Y)}$


証明

確率変数 $X$,$Y$ の同時確率関数を

$P(X=x_{i},Y=y_{j})=p_{ij}$ ( $1\leqq i \leqq n$,$1\leqq j \leqq m$ )

として

$\displaystyle P(X=x_{i})=\sum_{j=1}^{m}p_{ij}=p_{i}$

$\displaystyle P(Y=y_{j})=\sum_{i=1}^{n}p_{ij}=q_{j}$

とする.

$X$ $Y$ $y_1$ $y_{2}$ $\cdots$ $y_{m}$
$x_1$ $p_{11}$ $p_{12}$ $\cdots$ $p_{1m}$ $p_1$
$x_2$ $p_{21}$ $p_{22}$ $\cdots$ $p_{2m}$ $p_2$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
$x_n$ $p_{n1}$ $p_{n2}$ $\cdots$ $p_{nm}$ $p_n$
$q_1$ $q_2$ $\cdots$ $q_m$ $1$

 $\displaystyle E(aX+bY)$

$\displaystyle =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(ax_{i}+by_{j})p_{ij}$

$\displaystyle =\sum_{i=1}^{n}\left(ax_{i}\sum_{j=1}^{m}p_{ij}+b\sum_{j=1}^{m}y_{j}p_{ij}\right)$

$\displaystyle =\sum_{i=1}^{n}ax_{i}p_{i}+b\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}y_{j}p_{ij}$

$\displaystyle =aE(X)+b\sum_{i=1}^{n}(y_{1}p_{i1}+y_{2}p_{i2}+\cdots+y_{m}p_{im})$

$\displaystyle =aE(X)+b(y_{1}q_{1}+y_{2}q_{2}+\cdots+y_{m}q_{m})$

$\displaystyle =aE(X)+bE(Y)$


後に確率変数の独立を扱いますが,$X$ と $Y$ が独立であろうとなかろうと成立する公式になります.

3つの確率変数の和の期待値

3つ以上に関しても同様に公式が成り立ちます.3つの場合は以下になります.

確率変数の和の期待値

確率変数 $X$,$Y$,$Z$ に関して以下が成り立つ.

$\boldsymbol{\displaystyle E(aX+bY+cZ)=aE(X)+bE(Y)+cE(Z)}$

↓ $a=b=c=1$

$\boldsymbol{\displaystyle E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)}$

例題と練習問題

例題

例題

大小 $2$ 個のサイコロを同時に投げるとき,それぞれのサイコロの出る目を $X$,$Y$ とする.$E(X+Y)$ を求めよ.


講義

同時分布を書いて期待値を出さなくても,周辺分布から $E(X)$ を出せば十分です.上の公式を利用します.


解答

 $E(X)$

$\displaystyle =(1+2+3+4+5+6)\dfrac{1}{4}$

$=\dfrac{7}{2}$

$E(X)=E(Y)$ より

 $E(X+Y)$

$\displaystyle =E(X)+E(Y)$

$\displaystyle =2E(X)$

$=\boldsymbol{7}$

練習問題

練習1

$11$,$12$,$21$,$32$ と書いた $4$ 枚のカードがある.これらをよく切って $1$ 枚を取り出すとき,十の位の数字を $X$,一の位の数字を $Y$ とする.$E(X+Y)$ を求めよ.


練習2

1枚の硬貨を5回投げたときの表が出る回数の期待値を求めよ.

練習1の解答

 $E(X+Y)$

$\displaystyle =2\cdot \dfrac{1}{4}+3\cdot \dfrac{2}{4}+5\cdot \dfrac{1}{4}$

$=\boldsymbol{\dfrac{13}{4}}$

同時分布の例題と同一の話題です.周辺分布から $E(X)$,$E(Y)$ を出して.$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ を利用するよりも直接求めた方が楽ですね.


練習2の解答

$k$ 回目( $1\leqq k \leqq5$ )で表が出れば $X_{k}=1$,裏が出れば $X_{k}=0$ とすると,$E(X_{k})=1\cdot\dfrac{1}{2}+0\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$ より,求める期待値は

 $E(X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5})$

$=5\cdot\dfrac{1}{2}$

$=\boldsymbol{\dfrac{5}{2}}$

期待値の練習問題と同一です.二項分布の期待値の公式から出しても構いません.