正規分布の期待値，分散の証明

まず，次章で述べる標準正規分布の期待値と分散がそれぞれ $0$ と $1$ であることを示します．確率変数 $Z$ が標準正規分布に従うとき

　$\displaystyle E(Z)$

$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}z\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\,dz$

$\displaystyle =\left[-\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\right]_{-\infty}^{\infty}$

$\displaystyle =0$

　$\displaystyle V(Z)$

$\displaystyle =E(Z^2)-\left\{E(Z)\right\}^{2}$

$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}z^{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\,dz-0^2$

$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}z\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\right)'\,dz$

$\displaystyle =\left[z\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\right)\right]_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\right)\,dz$　←部分積分

$\displaystyle =1$

確率変数 $X$ が正規分布に従うとき

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma} \ \Longleftrightarrow \ X=\sigma Z+\mu$

となるので(次章で述べる標準化の逆操作)

　$\displaystyle E(X)$

$\displaystyle =\sigma E(Z)+\mu$

$\displaystyle =\mu$

　$\displaystyle V(Z)$

$\displaystyle =\sigma^{2} V(Z)$

$\displaystyle =\sigma^{2}$

※ 終盤の公式は確率変数の変換をした期待値と分散で扱っています．