ロピタルの定理とその証明
数学Ⅲ既習者(難関大対策＋) ★★★★
ロピタルの定理と，その証明に必要なコーシーの平均値の定理も扱います．
ロピタルの定理は，適用条件や型が複数あり，正しく使うのにはそれなりの理解が必要です．大学受験では，そもそもロピタルの定理を知っていると大きく差がつくような問題はあまり出題されないと考えられるので，当ページは，読者が大学受験生の場合，数学がかなり得意で余裕のある人向けとします(一部，証明に $\epsilon - \delta$ 論法を使うのでご注意ください)．
テイラーの定理までの大まかな流れ
大学の微分においては，テイラーの定理(テイラー展開)が重要で，高校数学でもその導入として平均値の定理まで扱うことになっています．
以下に，テイラーの定理までの証明の流れを書きました．
このページは，コーシーの平均値の定理と，それから導かれるロピタルの定理を扱います．
コーシーの平均値の定理とその証明
コーシーの平均値の定理
関数 $f(x)$，$g(x)$ がともに閉区間 $[a,b]$ で連続でかつ開区間 $(a,b)$ で微分可能であるとする．$g(a) \neq g(b)$，かつ $(a,b)$ において $g'(x) \neq 0$ ならば
$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$， $a< c< b$
を満たす実数 $c$ が存在する．
媒介変数表示された曲線 $\begin{cases}X=g(x) \\ Y=f(x)\end{cases}$ と考えると，赤い点線の傾きと等しくなる接線を，少なくとも1つ(上の図の場合は2つ)もつという定理です．
$g(x)=x$ としたら平均値の定理になるので，平均値の定理を拡張した定理になっています．これがロピタルの定理とテイラーの定理の土台となる定理です．
ロルの定理を利用しての証明は，平均値の定理の証明に似ています．
証明
証明は下に格納しました．
証明
定数 $k$ を
$k=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$
によって定める．関数 $F(x)$ を
$F(x)=f(x)-f(a)-k\{g(x)-g(a)\}$
と定義する．このとき，条件から，関数 $F(x)$ は閉区間 $[a,b]$ で連続でかつ開区間 $(a,b)$ で微分可能である．さらに
$F(a)=0$
$F(b)=f(b)-f(a)-k\{g(b)-g(a)\}=0$
が成り立つので，ロルの定理より
$F'(c)=0$， $a< c< b$
を満たす実数 $c$ が存在する．ここで，$F'(x)=f'(x)-k\cdot g'(x)$ より
$F'(c)=f'(c)-k\cdot g'(c)=0$
$\therefore \ \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$
が成り立つ．
ロピタルの定理とその証明
まずは，片側極限を厳密に証明し，その次によく知られたロピタルの定理を紹介します．
ロピタルの定理(片側極限)
関数 $f(x)$，$g(x)$ (ただし，$g(x) \neq 0$ )は 開区間 $(a,b)$ $(a< b)$ 上で微分可能であるとし
(ⅰ) $\displaystyle \lim_{x \to a+0}f(x)=\lim_{x \to a+0}g(x)=0$
(ⅱ) すべての開区間 $(a,b)$ について $g'(x) \neq 0$
(ⅲ) $\displaystyle \lim_{x \to a+0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=l$ が存在し収束する．
これらの条件をすべて満たすとき
$\displaystyle \color{red}{\lim_{x \to a+0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a+0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=l}$
が成り立つ．
更に条件(ⅰ)を
(ⅰ$'$) $\displaystyle \lim_{x \to a+0}f(x)=\pm \infty$ かつ $\displaystyle \lim_{x \to a+0}g(x)=\pm \infty$
としても成り立つ．
また，上記の条件および結論にある右側極限 $\displaystyle \lim_{x \to a+0}$ を，左側極限 $\displaystyle \lim_{x \to b-0}$ としても成り立つ．
ロピタルの定理は，コーシーの平均値の定理の区間を短くしたものといったイメージでしょうか．
証明
証明はコーシーの平均値の定理を使います．下のボックス内部に格納しました．長いのでご注意ください．
証明
右側極限 $\displaystyle \lim_{x \to a+0}$ を示します(左側極限 $\displaystyle \lim_{x \to b-0}$ も同様です)．
$f(a)=g(a)=0$ と定義すると関数 $f(x)$，$g(x)$ は $[a,b)$ 上の関数とみなせ，この区間で連続である．任意の $x \in (a,b)$ についてコーシーの平均値の定理を区間 $[a,x]$ に適用すると
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$
を満たす $c \ (a< c <x)$ が 存在する．$x \to a+0$ とすると，$c \to a+0$ となるから
$\displaystyle \lim_{x \to a+0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a+0}\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\lim_{x \to a+0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=l$
が成り立つ．
条件(ⅰ)を(ⅰ$'$)とした証明( $\epsilon - \delta$ 論法を使います)
$\epsilon$ を任意の正の実数とすると，$a< x <a+\delta_{1}$ であるすべての $x$ について $\left|\dfrac{f'(x)}{g'(x)}-l\right| <\epsilon$ であるような正の実数 $\delta_{1}$ をとることができる．
また $\displaystyle \lim_{x \to a+0}g(x)=\pm \infty$ より，$a< x <a+\delta_{2}$ であるすべての $x$ について $|g(x)|>1$ が成り立つような，正の実数 $\delta_{2}$ をとることができる．
$\delta'=\min \{\delta_{1},\delta_{2}\}$ とし，$d=a+\delta'$ とおく．$a< x < d$ であるすべての $x$ についてコーシーの平均値の定理を区間 $[x,d]$ に適用すると
$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(d)-f(x)}{g(d)-g(x)}=\dfrac{\dfrac{f(x)}{g(x)}-\dfrac{f(d)}{g(x)}}{1-\dfrac{g(d)}{g(x)}}$
を満たす $c \ (x< c <d)$ が 存在する．分母を払ってさらに式変形すると
$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(x)}{g(x)}-\left\{\dfrac{f(d)}{g(x)}-\dfrac{f'(c)}{g'(c)}\cdot\dfrac{g(d)}{g(x)}\right\}$ $\cdots$ ①
となる．右辺の括弧内を $r(x)$ とする．ここで，$x \to a+0$ で，(ⅰ$'$)より $f(d)$ と $g(d)$ は $0$ に収束するので，$r(x)$ は $0$ に収束する．任意に定めた正の実数 $\epsilon$ に対して $a< x <a+\delta_{3}$ であるすべての $x$ について $\left|r(x)\right| <\epsilon$ であるような正の実数 $\delta_{3}$ をとることができる．
$\delta'=\min \{\delta',\delta_{3}\}$ とすると，①より $\dfrac{f(x)}{g(x)}-l=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}-l+r(x)$ より，$a< x < a+\delta$ であるすべての $x$ について
$\left|\dfrac{f(x)}{g(x)}-l\right|\leqq\left|\dfrac{f'(c)}{g'(c)}-l\right|+\left|r(x)\right|<2\epsilon$
よって，$\displaystyle \lim_{x \to a+0}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ が存在して，これは $l$ に等しい．
続いて，右側極限，左側極限の組み合わせで，よく知られたロピタルの定理を示します．
ロピタルの定理(その1)
関数 $f(x)$，$g(x)$ (ただし，$g(x) \neq 0$ )を，$a$ を含む開区間 $I$ 上で微分可能であるとし
(ⅰ) $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x \to a}g(x)=0$
(ⅱ) $x\neq a$ であるすべての $I$ の点 $x$ で $g'(x) \neq 0$
(ⅲ) $\displaystyle \lim_{x \to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=l$ が存在し収束する．
これらの条件をすべて満たすとき
$\displaystyle \color{red}{\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=l}$
が成り立つ．
更に条件(ⅰ)を
(ⅰ$'$) $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\pm \infty$ かつ $\displaystyle \lim_{x \to a}g(x)=\pm \infty$
としても成り立つ．
高校生向けでは，こちらしか掲載してないものが多いですね．
右側極限 $\displaystyle \lim_{x \to a+0}$ を，左側極限 $\displaystyle \lim_{x \to b-0}$ としても成り立つのは比較的簡単です(文字の置き換え，区間の範囲変更をしてもコーシーの平均値の定理の結果が変わらない)．これらを組みわせることでその1が簡単に示せます．
続いて，$x \to \pm\infty$ としても成り立つことを示します．
ロピタルの定理(その2)
関数 $f(x)$，$g(x)$ (ただし，$g(x) \neq 0$ )を開区間 $(b,\infty)$ 上で微分可能であるとし
(ⅰ) $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=\lim_{x \to \infty}g(x)=0$
(ⅱ) $x> b$ であるすべての $x$ で $g'(x) \neq 0$
(ⅲ) $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=l$ が存在し収束する．
これらの条件をすべて満たすとき
$\displaystyle \color{red}{\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to \infty}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=l}$
が成り立つ．
更に条件(ⅰ)を
(ⅰ$'$) $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=\pm \infty$ かつ $\displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x)=\pm \infty$
としても成り立つ．
また，$f(x)$，$g(x)$ (ただし，$g(x) \neq 0$ )を開区間 $(-\infty,b)$ 上で微分可能であるとし上記の条件および結論にある極限 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}$ を，$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}$ としても成り立つ．
証明
証明は下のボックス内部に格納しました．
その2の証明
$x \to \infty$ の場合を示します( $x \to -\infty$ も同様．(ⅰ)の代わりに(ⅰ$'$)が成り立つときも同様なので，(ⅰ)の場合の証明をします)．
$x \to \infty$ の話なので，$b >0$ としてよい．
$x=\dfrac{1}{t}$ とおくと，$x \to \infty$ のとき，$t \to +0$ である．(ⅰ)，(ⅱ)より
$\displaystyle \lim_{t \to +0}f\left(\dfrac{1}{t}\right)=\lim_{t \to +0}g\left(\dfrac{1}{t}\right)=0$，さらに $t \in \left(0,\dfrac{1}{b}\right)$ において $g'\left(\dfrac{1}{t}\right)\neq 0$．さらに
$\displaystyle \lim_{t \to +0}\dfrac{\dfrac{d}{dt}f\left(\dfrac{1}{t}\right)}{\dfrac{d}{dt}g\left(\dfrac{1}{t}\right)}=\lim_{t \to +0}\dfrac{\dfrac{-1}{t^2}f'\left(\dfrac{1}{t}\right)}{\dfrac{-1}{t^2}g'\left(\dfrac{1}{t}\right)}=\lim_{x \to \infty}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$
より，(ⅲ)から $\displaystyle \lim_{t \to +0}\dfrac{\dfrac{d}{dt}f\left(\dfrac{1}{t}\right)}{\dfrac{d}{dt}g\left(\dfrac{1}{t}\right)}$ が存在する．ロピタルの定理(片側極限)より， $\displaystyle \lim_{t \to +0}\dfrac{f'\left(\dfrac{1}{t}\right)}{g'\left(\dfrac{1}{t}\right)}=\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ は存在し，その極限は $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ に等しい．
例題と練習問題
例題
例題
次の極限を求めよ．
(1) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin \left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)}{\pi x}$
(2) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^{3}}$
(3) $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\dfrac{x}{e^{x}}$
講義
ロピタルの定理は，例題のような不定形の極限を求めるときに有効です．
ちなみに(1)は三角関数の極限の例題に同じ問題がありますので，高校生，大学受験生はそちらで解くべきですが，今回はロピタルの定理の使い方の確認です．
どの問題も，ロピタルの定理の前提を満たしていることと $\boldsymbol{\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}$ の極限の存在確認をしてから，$\dfrac{f(x)}{g(x)}$ の極限を出します．
解答
(1)
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\sin \left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)=0$，$\displaystyle \lim_{x \to 0}\pi x=0$ であり
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\left\{\sin \left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)\right\}'}{(\pi x)'}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 0}\dfrac{\left\{\cos \left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)\right\}\left(\cos \dfrac{x}{\pi}\right)\dfrac{1}{\pi}}{\pi}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{\pi^{2}}$
より，ロピタルの定理から
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin \left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)}{\pi x}=\boldsymbol{\dfrac{1}{\pi^{2}}}$
※ ロピタルの定理適用が1回だけで求まるなら，微分係数の定義利用でも楽に解けるはずです．
(2)
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\left(1-\cos x\right)=0$，$\displaystyle \lim_{x \to 0}3x^{2}=0$ であり，$x \neq 0$ ならば $6x \neq 0$ である．
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\left(1-\cos x\right)'}{(3x^{2})'}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{6x}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{6}$
より，ロピタルの定理から
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{3x^{2}}=\dfrac{1}{6}$
また $\displaystyle \lim_{x \to 0}\left(x-\sin x\right)=0$，$\displaystyle \lim_{x \to 0}x^{3}=0$ であり，$x \neq 0$ ならば $3x^{2} \neq 0$ である．
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\left(x-\sin x\right)'}{(x^{3})'}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{3x^{2}}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{6}$
より，ロピタルの定理から
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^{3}}=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}}$
※ 条件さえ満たしていれば複数回適用できます．
※ この問題は $f(x)=\sqrt[3]{x}-\sin\sqrt[3]{x}$ $(x\geqq0)$ として，$[0,x^3]$ に対して平均値の定理を使うと高校範囲内で導けてしまいます．
(3)
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}x=\infty$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}e^x=\infty$ であり，$e^{x} > 0$．
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{\left(x\right)'}{(e^x)'}$
$\displaystyle =\lim_{x \to \infty}\dfrac{1}{e^x}$
$\displaystyle =0$
より，ロピタルの定理から
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{x}{e^x}=\boldsymbol{0}$
※ 高校範囲では $x>0$ で $e^{x}>\dfrac{x^2}{2}$ を示して挟むのが有名でしょうか．
練習問題
練習
次の極限を求めよ．
(1) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{2x}-e^{x}}{\log (1+x)}$
(2) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^{2}x}-\dfrac{1}{x^{2}}\right)$
(3) $\displaystyle\lim_{x \to \infty}x^{\frac{1}{x}}$
練習の解答
(1)
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\sin \left(e^{2x}-e^{x}\right)=0$，$\displaystyle \lim_{x \to 0}\log(1+x)=0$ であり
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\left(e^{2x}-e^{x}\right)'}{\{\log(1+x)\}'}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 0}\dfrac{2e^{2x}-e^x}{\dfrac{1}{1+x}}$
$\displaystyle =1$
より，ロピタルの定理から
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{2x}-e^{x}}{\log (1+x)}=\boldsymbol{1}$
(2)
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^{2}x}-\dfrac{1}{x^{2}}\right)$
$=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{x^{2}-\sin^{2}x}{x^{2}\sin^{2}x}$
$=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{x+\sin x}{x\sin x}\cdot \dfrac{x-\sin x}{x\sin x}$
$=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{x+\sin x}{x}\cdot \dfrac{x-\sin x}{x^3}\cdot \dfrac{x^2}{\sin^{2} x}$
ここで例題(2) より $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^{3}}=\dfrac{1}{6}$ から
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^{2}x}-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=2\cdot \dfrac{1}{6}\cdot1^2 =\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$
(3) 自然対数をとります．
$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \log x^{\frac{1}{x}}$
$\displaystyle =\lim_{x \to \infty} \dfrac{\log x}{x}$
ここで $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log x=\infty$，$\displaystyle \lim_{x \to 0}x=\infty$ であり
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{\left(\log x\right)'}{(x)'}$
$\displaystyle =\lim_{x \to \infty}\dfrac{1}{x}$
$\displaystyle =0$
より，ロピタルの定理から
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{\log x}{x}=\lim_{x \to \infty} \log x^{\frac{1}{x}}=0$
$\displaystyle \therefore \ \lim_{x \to \infty}x^{\frac{1}{x}}=\boldsymbol{1}$