$y$ 軸の周りの回転体の体積
積分(数学Ⅲ)(教科書範囲) ★★★
$y$ 軸の周りの回転体の体積について扱います．
$x$ 軸の周りの回転体の体積が既習前提です．
$y$ 軸の周りの回転体の体積の求め方
$y$ 軸の周りの回転体の体積の求め方
Ⅰ $x$ 軸の周りの回転体の体積と同じように計算．$\displaystyle \int_{a}^{b}x^{2}\pi\,dy$ に $x=g(y)$ として $y$ で積分．
Ⅱ $\displaystyle \int_{a}^{b}x^{2}\pi\,dy$ を立式してから $x$ の積分にするため置換積分．
Ⅲ バウムクーヘン積分を使う．
普通Ⅰを試みますが，Ⅱでないと解けない問題があります．また，記述式答案として使う場合リスクがありますが，Ⅰ，Ⅱで困難な場合Ⅲがオススメです．
Ⅲについてはバウムクーヘン積分で扱います．
例題と練習問題
例題
例題
$y=-x^{2}+2x$ と $x$ 軸で囲まれた部分を $y$ 軸周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．
講義
Ⅰ，Ⅱの方法で解答を示します．一応どちらでも解けるようにしておくのがオススメです．
Ⅰでの解答
$\displaystyle V$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}(\color{red}{ドーナツの面積})\,dy$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}\{\color{red}{(1+\sqrt{1-y})^{2}\pi-(1-\sqrt{1-y})^{2}\pi}\}\,dy$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}\color{red}{4\pi\sqrt{1-y}}\,dy$
$\displaystyle =4\pi\int_{0}^{1}(1-y)^{\frac{1}{2}}\,dy$
$\displaystyle =4\pi \left[-\frac{2}{3}(1-y)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}$
$\displaystyle =\boldsymbol{\frac{8}{3}\pi}$
Ⅱでの解答
$y=-x^{2}+2x$ での1つの $y$ に対応する2つの $x$ を $0\leqq x_{1} \leqq 1\leqq x_{2}\leqq 2$ と場合分けする．
$\displaystyle V$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}(\color{red}{ドーナツの面積})\,dy$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}(\color{red}{外側の円の面積})\,dy-\int_{0}^{1}(\color{red}{内側の円の面積})\,dy$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}x_{2}^{2}\pi\,dy-\int_{0}^{1}x_{1}^{2}\pi\,dy$
$\displaystyle =\pi\int_{2}^{1}x_{2}^{2}\frac{dy}{dx_{2}}\,dx_{2}-\pi\int_{0}^{1}x_{1}^{2}\frac{dy}{dx_{1}}\,dx_{1}$
$\displaystyle =\pi \int_{2}^{1}x^{2}(-2x+2)\,dx+\pi \int_{1}^{0}x^{2}(-2x+2)\,dx$
$\displaystyle =\pi \left[-\frac{1}{2}x^{4}+\frac{2}{3}x^{3}\right]_{2}^{0}$
$\displaystyle =\boldsymbol{\frac{8}{3}\pi}$
練習問題
練習
$y=\sin x$ $\left(0 \leqq x \leqq \pi\right)$，$x$ 軸で囲まれた部分を $y$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ．
練習の解答
$y=\sin x$ での1つの $y$ に対応する2つの $x$ を $0\leqq x_{1} \leqq \dfrac{\pi}{2}\leqq x_{2}\leqq \pi$ と場合分けする．
円および立体は $y$ 軸に関して対称．
$V$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}x_{2}^{2}\pi\,dy-\int_{0}^{1}x_{1}^{2}\pi\,dy$
$\displaystyle =\pi\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}x_{2}^{2}\frac{dy}{dx_{2}}\,dx_{2}-\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x_{1}^{2}\frac{dy}{dx_{1}}\,dx_{1}$
$\displaystyle =\pi\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}x^{2}\frac{dy}{dx}\,dx+\pi\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}x^{2}\frac{dy}{dx}\,dx$
$\displaystyle =\pi\int_{\pi}^{0}x^{2}\cos x\,dx$
ここで
$\displaystyle \int_{}^{} \ x^{2}\cos x\,dx$
$\displaystyle =x^{2}\sin x-\int_{}^{} \ 2x\sin x\,dx$
$\displaystyle =x^{2}\sin x-\left(2x(-\cos x)-\int_{}^{} \ 2(-\cos x)\,dx\right)$
$\displaystyle =x^{2}\sin x+2x\cos x-\int_{}^{} \ 2\cos x\,dx$
$=x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x+C$
より
$V$
$\displaystyle =\pi \Bigl[x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x\Bigr]_{\pi}^{0}$
$=\boldsymbol{2\pi^2}$
※ バウムクーヘン積分を利用すると $\displaystyle V=\int_{0}^{\pi}2\pi x\sin x\,dx$ で計算でき，部分積分が1回少なくなります．