$x$ 軸の周りの回転体の体積
積分(数学Ⅲ)(教科書範囲) ★★
$x$ 軸の周りの回転体の体積について扱います．
定積分で求める体積が既習前提です．
$x$ 軸の周りの回転体の体積
ポイント
$x$ 軸の周りの回転体の体積
$y=f(x)$ と $x$ 軸，および2直線 $x=a$ と $x=b$ で囲まれた部分を，$x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積 $V$ は
$\displaystyle \boldsymbol{V=\int_{a}^{b}\{f(x)\}^{2}\pi\,dx}$
断面は半径が $|f(x)|$ の円になるので，定積分で求める体積によると上の公式になるのは明らかです．
断面が円というよりドーナツ状になる応用問題もあるので，上の公式丸暗記というより断面積を積分する考え方が重要です．
例題と練習問題
例題
例題
次で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ．
(1) $y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}$ $\left(-r \leqq x \leqq r，r>0\right)$，$x$ 軸
(2) $y=-x^{2}+2x$，$y=x$
講義
(1)は半円なので，回転体は球になります．(2)は断面積はドーナツ状になりますが，全体から内側をくり抜く別解を常に考えるべきです．
解答
(1)
$V$
$\displaystyle =\int_{-r}^{r}(\sqrt{r^{2}-x^{2}})^{2}\pi\,dx$
$\displaystyle =\pi\int_{-r}^{r}(r^{2}-x^{2})\,dx$
$\displaystyle =2\pi\int_{0}^{r}(r^{2}-x^{2})\,dx$ ←偶関数の定積分
$\displaystyle =2\pi \left[r^{2}x-\dfrac{1}{3} x^{3}\right]_{0}^{r}$
$=\boldsymbol{\dfrac{4\pi}{3}r^{3}}$
※ 「身の上に心配あーるさ」という球の体積の公式の証明です．
(2)
$x$ 座標が $x$ での断面積は
$(-x^{2}+2x)^{2}\pi-x^{2}\pi=(x^{4}-4x^{3}+3x^{2})\pi$
より
$V$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}(x^{4}-4x^{3}+3x^{2})\pi\,dx$
$\displaystyle =\pi \left[\dfrac{1}{5}x^{5}-x^{4}+x^{3}\right]_{0}^{1}$
$=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{5}}$
別解
放物線の回転体から円錐を引く．
$V$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}(-x^{2}+2x)^{2}\pi\,dx-1\cdot1\cdot \pi\cdot1\cdot\dfrac{1}{3}$
$\displaystyle =\pi\int_{0}^{1}(x^{4}-4x^{3}+4x^{2})\,dx-\dfrac{\pi}{3}$
$\displaystyle =\pi \left[\dfrac{1}{5}x^{5}-x^{4}+\dfrac{4}{3}x^{3}\right]_{0}^{1}-\dfrac{\pi}{3}$
$=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{5}}$
※ 直線が絡んだ面積や回転体は既存の公式を使うのが楽なことが多いです．
練習問題
練習1
$y=\cos x$ $\left(-\dfrac{\pi}{2} \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$，$x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ．
練習2
$xy$ 平面上の円 $C:x^{2}+y^{2}-2y-3=0$ の周および内部の領域を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ．
練習1の解答
$V$
$\displaystyle =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \ (\cos x)^{2}\pi\,dx$
$\displaystyle =2\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2} x\,dx$ ←偶関数の定積分
$\displaystyle =2\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1+\cos2x}{2}\,dx$ ←三角関数の積分
$\displaystyle =2\pi \left[\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\sin2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$=\boldsymbol{\dfrac{\pi^{2}}{2}}$
練習2の解答
$x^{2}+(y-1)^{2}=4$
$\Longleftrightarrow \ y=1\pm\sqrt{4-x^2}$
円および立体は $y$ 軸に関して対称．
$\dfrac{V}{2}$
$\displaystyle =\int_{0}^{\sqrt{3}}(1+\sqrt{4-x^2})^{2}\pi\,dx+\int_{\sqrt{3}}^{2}\{(1+\sqrt{4-x^2})^{2}-(1-\sqrt{4-x^2})^{2}\}\pi\,dx$
$\displaystyle =\pi\int_{0}^{\sqrt{3}}(5-x^{2}+2\sqrt{4-x^2})\,dx+\pi\int_{\sqrt{3}}^{2}4\sqrt{4-x^2}\,dx$
$\displaystyle =\pi \left[5x-\dfrac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{\sqrt{3}}+2\pi\int_{0}^{\sqrt{3}}\sqrt{4-x^2}\,dx+4\pi\int_{\sqrt{3}}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx$
$\displaystyle =4\sqrt{3}\pi+2\pi\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx+2\pi\int_{\sqrt{3}}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx$
$\displaystyle =4\sqrt{3}\pi+2\pi\cdot4\pi\cdot\dfrac{1}{4}+2\pi\left(4\pi\cdot\dfrac{1}{12}-\sqrt{3}\cdot1\cdot\dfrac{1}{2}\right)$
$\displaystyle =4\sqrt{3}\pi+2\pi^{2}+\dfrac{2}{3}\pi^{2}-\sqrt{3}\pi$
$\displaystyle =\dfrac{8}{3}\pi^{2}+3\sqrt{3}\pi$
$\therefore \ V=\boldsymbol{\dfrac{16}{3}\pi^{2}+6\sqrt{3}\pi}$
※ $x$ 軸より下の部分は $x$ 軸で折り返して考えます(今回は $y$ 軸より上の部分とかぶるので考えなくていいですね)．
※ $\displaystyle \int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx$ は下のように
四分円の面積で考えます．同様に $\displaystyle \int_{\sqrt{3}}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx$ は
上の黄色部分なので，扇形の面積から三角形の面積を引いて出します．