2次不定方程式
整数(入試の標準) ★★★
2次不定方程式について一通り扱います．
1次不定方程式とは解法が異なります．
2次不定方程式と解法
$x$，$y$ の2次方程式(係数は整数．$a$，$b$，$c$ のいずれかが $0$ でない )
$ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+g=0$
を扱います．(2元)2次不定方程式ということが多いようです．$a=c=0$ のタイプなら検定教科書にある場合がありますが，高校数学としては発展的とすることが多いようです(そのため入試にあまり出ない)．
よくある解法を紹介します．
2次不定方程式の解法
(ⅰ) $\boldsymbol{( \ )( \ )=}$ 整数を作る
(ⅱ) $( \ )^{2} \geqq 0$ 等で範囲を絞る
(ⅲ) 判別式 $D \geqq0$ で範囲を絞る
基本は(ⅰ)の方法で，$()$ が右辺の整数の約数になることに注目して解くことが多いです．
(ⅲ)は(ⅰ)，(ⅱ)が厳しい場合の手段です．どちらかの文字の2次方程式とみて判別式で範囲を絞ります．
2次曲線
大学の線形代数での話
例題と練習問題
例題
例題
(1) 方程式 $xy-2x-6y=1$ の整数解をすべて求めよ．
(2)
① $2x^{2}-5xy-3y^{2}+x+11y-6$ を因数分解せよ．
② 方程式 $2x^{2}-5xy-3y^{2}+x+11y-8=0$ の自然数解をすべて求めよ．
講義
基本的には式変形で $\boldsymbol{( \ )( \ )=}$ 整数の形を作ります．
(2)の②は①を利用します．$x$，$y$ が自然数なので，因数の範囲に注意すると楽です．
解答
(1)
$xy-2x-6y=1$
$\Longleftrightarrow \ (x-6)(y-2)-12=1$
$\Longleftrightarrow \ (x-6)(y-2)=13$ ← $\boldsymbol{( \ )( \ )=}$ 整数
これより
$(x-6,y-2)=(13,1)$，$(1,13)$，$(-13,-1)$，$(-1,-13)$
求める整数解は
$\boldsymbol{(x,y)=(19,7)，(7,15)，(-7,1)，(5,-9)}$
※ もし $y$ について解くと $y=\dfrac{13}{x-6}+2$ となり，分数関数(双曲線)とわかります．この分数関数上の格子点を答えていることになります．
(2)①
$2x^{2}-5xy-3y^{2}+x+11y-6$
$=2x^{2}+(1-5y)x-3y^{2}+11y-6$
$=2x^{2}+(1-5y)x-(3y^{2}-11y+6)$
$=2x^{2}+(1-5y)x-(3y-2)(y-3)$
$=\{2x+(y-3)\}\{x-(3y-2)\}$
$=\boldsymbol{(2x+y-3)(x-3y+2)}$
※ 因数分解の例題と同じ問題です．
②
$2x^{2}-5xy-3y^{2}+x+11y-8=0$
$\Longleftrightarrow \ 2x^{2}-5xy-3y^{2}+x+11y-6=2$
$\Longleftrightarrow \ (2x+y-3)(x-3y+2)=2$ ← $\boldsymbol{( \ )( \ )=}$ 整数
$2x+y-3\geqq 2+1-3=0$ より
$(2x+y-3,x-3y+2)=(2,1)$，$(1,2)$
求める自然数解は
$\boldsymbol{(x,y)=(2,1)}$
練習問題
練習
(1) 方程式 $xy-3x+2y=12$ の自然数解をすべて求めよ．
(2)
① $3x^{2}+4xy-4y^{2}+4x-16y-15$ を因数分解せよ．
② 方程式 $3x^{2}+4xy-4y^{2}+4x-16y-28=0$ の自然数解をすべて求めよ．
(3) 方程式 $x^{2}+2xy+3y^{2}=17$ の整数解をすべて求めよ．
(4) 方程式 $5x^{2}+2xy+y^{2}-4x+4y+7=0$ の整数解をすべて求めよ．
練習の解答
(1)
$xy-3x+2y=12$
$\Longleftrightarrow \ (x+2)(y-3)=6$
$x+2\geqq 3$ より
$(x+2,y-3)=(6,1)$，$(3,2)$
求める整数解は
$\boldsymbol{(x,y)=(4,4)，(1,5)}$
(2)①
$3x^{2}+4xy-4y^{2}+4x-16y-15$
$=3x^{2}+(4y+4)x-4y^{2}-16y-15$
$=3x^{2}+(4y+4)x-(4y^{2}+16y+15)$
$=3x^{2}+(4y+4)x-(2y+3)(2y+5)$
$=\{3x-(2y+5)\}\{x+(2y+3)\}$
$=\boldsymbol{(3x-2y-5)(x+2y+3)}$
②
$3x^{2}+4xy-4y^{2}+4x-16y-28=0$
$\Longleftrightarrow \ 3x^{2}+4xy-4y^{2}+4x-16y-15=13$
$\Longleftrightarrow \ (3x-2y-5)(x+2y+3)=13$
$x+2y+3\geqq 6$ より
$(3x-2y-5,x+2y+3)=(1,13)$
求める自然数解は
$\boldsymbol{(x,y)=(4,3)}$
(3)
$x^{2}+2xy+3y^{2}=17$
$\Longleftrightarrow \ (x+y)^{2}=17-2y^{2}\geqq 0$
$y$ は整数なので，$y=0,\pm1,\pm2$ だが，$17-2y^{2}$ が平方数となるのは
$y=\pm 2$，$x+y=\pm3$ (複合任意)
より求める整数解は
$\boldsymbol{(x,y)=(1,2)，(-5,2)，(5,-2)，(-1,-2)}$
※ $x$ の2次方程式とみて判別式で絞っても同じですが，上の方法が楽です．
(4)
$5x^{2}+2xy+y^{2}-4x+4y+7=0$
$\Longleftrightarrow \ y^{2}+(2x+4)y+5x^{2}-4x+7=0$
$\dfrac{D}{4}$
$=(x+2)^{2}-(5x^{2}-4x+7)$
$=-4x^{2}+8x-3\geqq 0$
$\Longleftrightarrow \ 4x^{2}-8x+3\leqq 0$
$\Longleftrightarrow \ (2x-3)(2x-1)\leqq 0$
$\Longleftrightarrow \ \dfrac{1}{2}\leqq x\leqq \dfrac{3}{2}$
これより $x=1$．元の式に戻すと
$y^{2}+6y+8=0$
これを解くと $y=-4，-2$．求める整数解は
$\boldsymbol{(x,y)=(1,-4)，(1,-2)}$
※ 最初に $x$ の2次方程式とみて判別式をとってもうまく絞り込めないです．