凹凸まで調べた増減表とグラフの書き方
微分(数学Ⅲ)(教科書範囲) ★★
$y=f(x)$ で表された陽関数のみ扱い，分数関数のグラフ以外をここでは扱います．
グラフを書く前に注意すること
数学Ⅲでは，より一般のグラフを書いていきますが，以下の事項について注意するといいと思います．
グラフを書く前に注意すること
・要求されているのが増減までか，凹凸までか．
→凹凸まで要求される場合は問題文に書いてあるケースが大半です．
・定義域，不連続点
→ $y=\sqrt{1-x^2}$ や $y=\log (x-1)$ など定義域がある関数に注意．$y=\dfrac{1}{x}$ などは不連続点があります．
・$x \to \pm\infty$ の極限．漸近線．
→ 増減表だけでグラフが書けなければ $x \to \pm\infty$ の極限を調べる(横漸近線は $x \to \pm\infty$ で調べる)．漸近線の存在確認もします．
・対称性は利用できるか．偶関数か，奇関数でないか．
→ 偶関数ならば $y$ 軸対称．奇関数ならば原点対称であることを利用すると楽にグラフが書けます(必ず利用しなければならないというわけではありません)．
例題と練習問題
例題
例題
次の関数の増減と凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．
$y=x^{3}-3x$
講義
定義域は全実数なので，気にすることはありませんが，$f(x)=x^{3}-3x$ とすると $f(-x)=-f(x)$ を満たすので奇関数であるから，グラフが原点対称になります．つまり $x\geqq 0$ だけを増減表に書くと楽です．
凹凸までなので，4行の表を書きます．
解答
$y'=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)$
$y''=6x$
増減表は
| $x$ | $0$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|
| $y'$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $y''$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $y$ | $0$ | $-2$ |
原点対称であることを意識してグラフを書くと以下のようになる．
※ 凹凸の情報も含めた矢印を増減表に書きます．上の場合 $0<x<1$ で下に凸かつ単調減少なので ，$x>1$ で下に凸かつ単調増加なので を書きます．
※ ちなみに奇関数であることを利用しない増減表は以下のようになります．
| $x$ | $\cdots$ | $-1$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | $+$ | $0$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $y''$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $y$ | $2$ | $0$ | $-2$ |
練習問題
練習
次の関数の増減と凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．
$f(x)=e^{-x^{2}}$
練習の解答
$f(-x)=f(x)$ を満たすので，$f(x)$ は偶関数．つまり $f(x)$ は $y$ 軸に関して対称．$x\geqq0$ を調べる．
$f'(x)=-2xe^{-x^{2}}$
$f''(x)$
$=-2e^{-x^{2}}+4x^{2}e^{-x^{2}}$
$=2(2x^{2}-1)e^{-x^{2}}$
増減表は
| $x$ | $0$ | $\cdots$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $0$ | $-$ | $-$ | $-$ |
| $f''(x)$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | $1$ | $\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ |
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=0$ より
原点対称であることを意識してグラフを書くと以下のようになる．
※ 今回の場合，$\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty}f(x)=0$ より漸近線が $y=0$ になります．増減表だけでは果ての値がわからず，適切なグラフが書けません．