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共面条件

空間ベクトル(教科書範囲) ★★★


アイキャッチ

共面条件(4点が同一平面上にある条件)に関して扱います.

定期試験や入試の空間ベクトルの問題では頻繁に登場,利用する概念です.



共面条件

対象の点が,他の3点と同一平面上にある条件を立式できます.これを利用して様々な応用問題を解くことになります.

ポイント

共面条件

内分点の共面条件

${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ が ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$,${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$,${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$ と同一平面上にある条件は

$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}}$

なる実数 $s$,$t$ が存在することで,これを変形すると

$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut p}=(1-s-t)\overrightarrow{\mathstrut a}+s\overrightarrow{\mathstrut b}+t\overrightarrow{\mathstrut c}}$

となる.

※ 下の式はこの形を暗記するよりも,$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ と $\overrightarrow{\mathstrut c}$ の係数の和が $\boldsymbol{1}$ であることを覚えるべきです.言い換えると $\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}+u\overrightarrow{\mathstrut c}$ ( $s+t+u=1$ )となります.

※ 共面条件という言葉は検定教科書で記載がないことがほとんどですが,よく使われている用語です.

証明

ベクトルの分解で,${\rm P}$ が ${\rm A}$,${\rm B}$,${\rm C}$ と同一平面上にあるならば $\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}$ と1通りに表せることは既習済みです.

$\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}$

$\Longleftrightarrow \ \overrightarrow{\mathstrut \rm OP}-\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=s(\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}-\overrightarrow{\mathstrut \rm OA})+t(\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}-\overrightarrow{\mathstrut \rm OA})$

$\Longleftrightarrow \ \overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=(1-s-t)\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+s\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}$

$\therefore \ \overrightarrow{\mathstrut p}=(1-s-t)\overrightarrow{\mathstrut a}+s\overrightarrow{\mathstrut b}+t\overrightarrow{\mathstrut c}$


証明にあるように上から下を導けること,つまりどちらも共面条件であることを知っておくべきです.

例題と練習問題

例題

例題

例題(2)

四面体 ${\rm OABC}$ において,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}=\overrightarrow{\mathstrut c}$ とする.辺 $\rm OA$ の中点を $\rm P$,$\triangle{\rm OBC}$ の重心を $\rm G$,線分 $\rm PG$ を $2:1$ に内分する点を $\rm Q$,直線 $\rm OQ$ と平面 $\rm ABC$ の交点を $\rm R$ とするとき,次のベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut c}$ を用いて表せ.

(1) $\overrightarrow{\mathstrut \rm OG}$

(2) $\overrightarrow{\mathstrut \rm OQ}$

(3) $\overrightarrow{\mathstrut \rm OR}$


講義

内分点,重心の位置ベクトル共線条件共面条件をフルに使って解く問題です.


解答

(1)

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OG}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OO}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}}{3}=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathstrut c}}$


(2)

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OQ}=\dfrac{1\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm OP}+2\overrightarrow{\mathstrut \rm OG}}{2+1}=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{2}{9}\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{2}{9}\overrightarrow{\mathstrut c}}$


(3)

$\rm O$,$\rm Q$,$\rm R$ が一直線上より

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OR}=t\overrightarrow{\mathstrut \rm OQ}=\dfrac{t}{6}\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{2t}{9}\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{2t}{9}\overrightarrow{\mathstrut c}$ ←共線条件

とおく.$\rm R$ は $\rm A$,$\rm B$,$\rm C$ と同一平面上なので

$\color{red}{\dfrac{t}{6}+\dfrac{2t}{9}+\dfrac{2t}{9}=1}$ ←共面条件

$\therefore \ t=\dfrac{18}{11}$

$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm OR}=\dfrac{3}{11}\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{4}{11}\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{4}{11}\overrightarrow{\mathstrut c}}$

練習問題

練習1

4点 ${\rm A}(1,2,7)$,${\rm B}(3,0,1)$,${\rm C}(-1,1,1)$,${\rm D}(4,\alpha,1)$ が同一平面上にあるように $\alpha$ の値を定めよ.


練習2

1辺の長さが $2$ の正四面体 $\rm OABC$ がある.辺 $\rm OA$ の中点を $\rm M$,辺 $\rm OB$ の中点を $\rm N$ とする.$\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}=\overrightarrow{\mathstrut c}$とおく.また,頂点 $\rm O$ から平面 $\rm MNC$ に下ろした垂線と平面 $\rm MNC$ の交点を $\rm H$ とする.さらに,直線 $\rm OH$ と平面 $\rm ABC$ の交点を $\rm F$ とする.

(1) $\overrightarrow{\mathstrut \rm OH}$ を $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut c}$ を用いて表せ.

(2) 線分の長さの比 $\rm OH:HF$ を求めよ.

練習1の解答

$\rm D$ は $\rm A$,$\rm B$,$\rm C$ と同一平面上なので

$\overrightarrow{\mathstrut \rm AD}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}$

とおくと

$\begin{pmatrix}3 \\ \alpha-2 \\ -6\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ -6\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ -6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2s-2t \\ -2s-t \\ -6s-6t\end{pmatrix}$

解くと $s=\dfrac{5}{4}$,$t=-\dfrac{1}{4}$,$\boldsymbol{\alpha=-\dfrac{1}{4}}$

平面の方程式と点と平面の距離の練習問題と同じ問題です.平面の方程式を使って解いてもいいですね.


練習2の解答 出典:2016北里大医学部改

練習1

(1)

$\rm H$ は $\rm M$,$\rm N$,$\rm C$ と同一平面上なので

 $\overrightarrow{\mathstrut \rm OH}$

$=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OM}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm ON}+(1-s-t)\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}$

$=\dfrac{s}{2}\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{t}{2}\overrightarrow{\mathstrut b}+(1-s-t)\overrightarrow{\mathstrut c}$

とおける.$\rm OH \perp CM$,$\rm OH \perp CN$ より

 $\overrightarrow{\mathstrut \rm OH}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm CM}$

$=\left\{\dfrac{s}{2}\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{t}{2}\overrightarrow{\mathstrut b}+(1-s-t)\overrightarrow{\mathstrut c}\right\}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut c}\right)$

$=\dfrac{s}{4}|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}+\dfrac{t}{4}\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{1-s-t}{2}\overrightarrow{\mathstrut c}\cdot\overrightarrow{\mathstrut a}-\dfrac{s}{2}\overrightarrow{\mathstrut c}\cdot\overrightarrow{\mathstrut a}-\dfrac{t}{2}\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut c}-(1-s-t)|\overrightarrow{\mathstrut c}|^{2}$

$=s+\dfrac{t}{2}+1-s-t-s-t-4(1-s-t)$

$=3s+\dfrac{5}{2}t-3=0 \ \cdots$ ①

 $\overrightarrow{\mathstrut \rm OH}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm CN}$

$=\left\{\dfrac{s}{2}\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{t}{2}\overrightarrow{\mathstrut b}+(1-s-t)\overrightarrow{\mathstrut c}\right\}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut c}\right)$

$=\dfrac{s}{4}\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{t}{4}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}+\dfrac{1-s-t}{2}\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut c}-\dfrac{s}{2}\overrightarrow{\mathstrut c}\cdot\overrightarrow{\mathstrut a}-\dfrac{t}{2}\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut c}-(1-s-t)|\overrightarrow{\mathstrut c}|^{2}$

$=\dfrac{s}{2}+t+1-s-t-s-t-4(1-s-t)$

$=\dfrac{5}{2}s+3t-3=0 \ \cdots$ ②

①,②より,$s=t=\dfrac{6}{11}$.

$\therefore \ \boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm OH}=\dfrac{3}{11}\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{3}{11}\overrightarrow{\mathstrut b}-\dfrac{1}{11}\overrightarrow{\mathstrut c}}$

※ 対称性を利用すると $s=t$ となることは解く前からわかりますね.その場合

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OH}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OM}+s\overrightarrow{\mathstrut \rm ON}+(1-2s)\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}$

とおくと $\overrightarrow{\mathstrut \rm OH}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm CM}=0$ だけで解けて処理が楽です.


(2)

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OH}=\dfrac{5}{11}\cdot \dfrac{3\overrightarrow{\mathstrut a}+3\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut c}}{5}=\dfrac{5}{11}\overrightarrow{\mathstrut \rm OF}$

$\therefore \ \rm OH:HF=\boldsymbol{5:6}$

※ $\overrightarrow{\mathstrut c}$ の係数が負なので $\rm H$ および $\rm F$ は それぞれ $\triangle \rm MNC$,$\triangle \rm ABC$ の内部にはありません.


さらに練習したい場合,4頂点座標既知の四面体の体積に取り掛かることをオススメします.空間ベクトルの集大成的な問題です.