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逆関数の微分とその証明

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

このページでは逆関数の微分について,関連事項や関連問題を扱います.





逆関数の微分公式とその証明

ポイント

逆関数の微分の図解

逆関数の微分の図解

微分可能な関数 $y=f(x)$ の逆関数 $y=g(x)$ が存在するとする.$b=f(a)$ とし,$f'(a)\neq 0$ ならば

$\displaystyle \boldsymbol{g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}}$


$y=g(x)$ 上の $(b,a)$ での接線の傾きは,$y=f(x)$ 上の $(a,b)$ での接線の傾きの逆数であるという意味です.

接線まで $y=x$ に関して対称になるということですね.

下で一般化します.



ポイント

逆関数の微分

微分可能な関数 $y=f(x)$ の逆関数 $y=g(x)$ が存在するとき

$\displaystyle \boldsymbol{g'(x)=\dfrac{1}{f'(y)}}$

または

$\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}}$

※ $f'(y)\neq 0$,$\dfrac{dx}{dy}\neq 0$ が前提です.


上の図解の一般化です.

問題を解くときはあまり深く考えず,逆関数をとって $x$ か $y$ の好きな方で微分すれば道が拓けます.



一般的な証明

逆関数の微分の証明

関数 $y=f(x)$ の逆関数 は $x=f(y)$ $\Longleftrightarrow$ $y=g(x)$ である.$x=f(y)$ を両辺 $x$ で微分すると

$1=f'(y)\cdot \dfrac{dy}{dx}$ ←合成関数の微分

$f'(y)=\dfrac{dx}{dy}\neq0$ であれば

$g'(x)=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{f'(y)}=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}$


検定教科書にある証明です.

上では,逆関数 $y=g(x)$ が微分できることが前提になっているので,$y=g(x)$ の微分可能性を仮定しない証明を下に格納しておきます.



逆関数 $y=g(x)$ の微分可能性を仮定しない証明

証明




$x^p$ ( $p$ は有理数)の微分公式とその証明

$n$ が自然数のときの微分の証明は,数Ⅱの $x^n$ の微分で,整数のときは積の微分と商の微分で扱いましたが,今度は $n$ が有理数のときです.


ポイント

$x^{p}$ ( $p$ は有理数)の微分

$p$ を有理数とすると

$\displaystyle \boldsymbol{(x^p)'=px^{p-1}}$


結果は同じです.逆関数の微分を使って示します.

正直対数微分法まで待てば,簡単に $p$ が実数のときを証明できるので,そこまで待ってもいいと思います.

下に格納しました.



証明

証明




例題と練習問題

例題

例題

$y=x^{5}$ の逆関数の導関数を求めよ.


講義

まずは $x$ と $y$ を入れ替えて逆関数にします.その後は $x^p$ ( $p$ は有理数)の微分公式を適用するのをここでは正攻法とします.


解答

逆関数は $x=y^{5}$ より,$y=x^{\frac{1}{5}}$.

$\boldsymbol{y'=\dfrac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}}$


別解

逆関数は $x=y^{5}$ より,両辺 $y$ で微分すると

$\dfrac{dx}{dy}=5y^{4}$

$\therefore \ \boldsymbol{y'}=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}=\dfrac{1}{5y^{4}}\boldsymbol{=\dfrac{1}{5x^{\frac{4}{5}}}}$



練習問題

練習1

関数 $y=\sqrt{x^{2}+1}$ の導関数を求めよ.


練習2

関数 $y=x^{3}+3x^{2}+6x$ の 逆関数を $g(x)$ とするとき,微分係数 $g'(10)$ を求めよ.

練習の解答



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