2直線のなす角を求める方法(方向ベクトル利用)
ベクトル(教科書範囲) ★★
2直線のなす角を求める方法を整理し，紹介します．ここでは方向ベクトルを使って解く方法を紹介します．
例題，練習問題は加法定理を使う方法と同じです．
2直線のなす角を求める方法は3種類
ポイント
Ⅰでは $\tan$ の加法定理を使います．
Ⅱがこのページです．Ⅲは検定教科書に載っていますが考え方が遠回りになるので当サイトとしては推奨していません．
どれを使うと速いか，楽かは問題によって違うのですが，全体としてはⅡ(このページ)がわかりやすくて使いやすいと思っています．
2直線のなす角を求める方法(方向ベクトル利用)
ポイント
方向ベクトルを使って2直線のなす角を求める方法
STEP1：2直線の図を書く．$x$ 軸と $y$ 軸は必要ない．傾きはなるべく正確に．
STEP2：それぞれの直線の方向ベクトルを設定する．方向ベクトルは向きが同じものでも無限に存在するので，計算しやすいものを選ぶ．
STEP3：内積の式からなす角の $\cos$ を出して，なす角を出す．
具体的に下の問題で確認していきます．
例題と練習問題
例題
例題
2直線 $2x-y-3=0$ と $x-3y+1=0$ のなす角 $\theta$ を求めよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ とする．
講義
図を書いて( $x$ 軸と $y$ 軸は不要)．方向ベクトルを使います．方向ベクトルは向きが正しければ大きさは問いません．計算する上で都合のいいものを選ぶといいでしょう．
解答と解説
それぞれ $y=2x-3$，$y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}$ の形にして，傾きがわかるようにし，図を書きます．
方向ベクトルを設定します．
分数だと計算しにくいので今回は，$\overrightarrow{\mathstrut d_{1}}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut d_{2}}=\begin{pmatrix}3 \\ 1 \end{pmatrix}$ としてみます．続いて，内積の式から $\theta$ を出します．
$\overrightarrow{\mathstrut d_{1}}\cdot \overrightarrow{\mathstrut d_{2}}=|\overrightarrow{\mathstrut d_{1}}||\overrightarrow{\mathstrut d_{2}}|\cos\theta$
$\Longleftrightarrow \ 5=\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}\cos\theta$
$\Longleftrightarrow \ \cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\therefore \ \theta=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{4}}$
練習問題
練習
(1) 2直線 $2x+\sqrt{3}y-4=0$ と $5x-\sqrt{3}y-6=0$ のなす角 $\theta$ を求めよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ とする．
(2) 座標平面上に$\rm{A}(2\sqrt{2}-2,0)$，$\rm{B}(2\sqrt{2}+2,0)$，$\rm{C}(\sqrt{2},1)$ があるとき，$\tan \angle \rm{ACB}$ を求めよ．
練習の解答
(1)
今回は，$\overrightarrow{\mathstrut d_{1}}=\begin{pmatrix}-\sqrt{3} \\ 2 \end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut d_{2}}=\begin{pmatrix}\sqrt{3} \\ 5 \end{pmatrix}$ として，内積の式を計算します．
$\overrightarrow{\mathstrut d_{1}}\cdot \overrightarrow{\mathstrut d_{2}}=|\overrightarrow{\mathstrut d_{1}}||\overrightarrow{\mathstrut d_{2}}|\cos\theta$
$\Longleftrightarrow \ 7=\sqrt{7}\cdot \sqrt{28}\cos\theta$
$\Longleftrightarrow \ \cos\theta=\dfrac{1}{2}$
$\therefore \ \theta=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{3}}$
(2) 出典：2018金沢医科大学医学部後期
今回は，$\overrightarrow{\mathstrut d_{1}}=\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}=\begin{pmatrix}\sqrt{2}-2 \\ -1 \end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut d_{2}}=\overrightarrow{\mathstrut \rm CB}=\begin{pmatrix}\sqrt{2}+2 \\ -1 \end{pmatrix}$，$\theta= \angle \rm{ACB}$ として，内積の式を計算します．
$\overrightarrow{\mathstrut d_{1}}\cdot \overrightarrow{\mathstrut d_{2}}=|\overrightarrow{\mathstrut d_{1}}||\overrightarrow{\mathstrut d_{2}}|\cos\theta$
$\Longleftrightarrow \ -1=\sqrt{7-4\sqrt{2}}\cdot \sqrt{7+4\sqrt{2}}\cos\theta$
$\Longleftrightarrow \ \cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{17}}$
$1+\tan^{2} \theta=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}=17$ より
$\tan\theta=\boldsymbol{-4}$ $ ( \ \because \ \cos\theta < 0$ より $\theta$ は鈍角)
まとめ
加法定理を使う方法と方向ベクトルを使う方法をまったく同じ例題，練習問題で紹介しましたが，どちらがわかりやすいと思ったでしょうか．
問題によってどれを使うべきか異なるので，どちらかで解けなかった場合，是非もう片方の方法を試してみてください．