通過領域の問題(解の配置問題で解く)
type:数学ⅡB既習者(難関大対策) level:★★★★★

難関大学で合否の分かれ目になりやすい,図形の通過領域の問題を扱います.
このページは解の配置問題で問題を解いていきます.
当ページは1箇所のみ(要数学Ⅲ)がありますが,数学ⅡBまでの範囲で理解ができます.
通過領域の問題の解き方
通過領域の問題の解法まとめ
Ⅰ 1文字固定法
$x$ を固定して,$y$ をもう一つの文字の関数とみて,$y$ の範囲を求める(微分や(相加平均)≧(相乗平均)などを使用).
※ 俗にファクシミリの原理と言われていますね.1文字固定法もファクシミリの原理も正式な数学用語ではありません.
Ⅱ 解の配置問題で解く (このページです!)
もう1つの文字の2次方程式として見ることができれば,2次方程式の解の配置問題で解くことができる.
1文字固定法の方が一般的で汎用性がありオススメです.今回はⅡの解の配置で解く方法を取り上げます.
例題と練習問題
例題
例題
(1) $t$ がすべての実数をとるとき,直線 $y=tx+t^{2}$ の通過領域を求め,図示せよ.
(2) $t$ が $t\geqq 0$ のすべての実数をとるとき,直線 $y=tx+t^{2}$ の通過領域を求め,図示せよ.
(3) (要数学Ⅲ) 座標平面上で,点$\rm O(0,0)$,$\rm A(0,1)$,$\rm B(1,0)$,$\rm C(1,1)$ を考える.点 $\rm P$ が点 $\rm B$ から点 $\rm C$ まで動くとき,正方形 $\rm AOBC$ の辺および内部において,線分 $\rm OP$ の垂直2等分線の通過領域を求めよ.
[2017早稲田教育改]
解説と解答
(1) $t$ の2次方程式とみると
$t^{2}+xt-y=0 \ \cdots $ ①
ここで,$t$ の実数解が存在しなければいけないはずです.$t$ の実数解に応じて直線が求まりますから.
しかし,どんな $(x,y)$ の組み合わせでも,$t$ が実数解を持てるかはわかりません.その関係式を求めるために,①で $t$ の実数解が存在しなければいけないので
$D\geqq0$
$\Longleftrightarrow x^{2}+4y\geqq0$
$\therefore \ y\geqq-\dfrac{x^2}{4}$

領域は上の黄色の部分.境界線を含む.
(2) $t$ の2次方程式とみると
$t^{2}+xt-y=0 \ \cdots $ ①
ここでは,$t$ の実数解が $t\geqq 0$ に存在しなければいけないはずです.つまり,これは解の配置問題です.
(左辺) $\displaystyle =f(t)=\left(t+\dfrac{x}{2}\right)^{2}-\dfrac{x^2}{4}-y$
(ⅰ) $\displaystyle t\geqq 0$ に2個(重解含む)実数解をもつとき

端点条件:$f(0)\geqq 0 \ \Longleftrightarrow \ y\leqq 0$
軸条件:$-\dfrac{x}{2}\geqq 0 \ \Longleftrightarrow \ x\leqq 0$
判別式:$D\geqq0 \ \Longleftrightarrow \ y\geqq-\dfrac{x^2}{4}$
これらの共通範囲 $x\leqq 0 \ \cap \ -\dfrac{x^2}{4} \leqq y \leqq 0$ が(ⅰ)の領域.
(ⅱ) $\displaystyle t > 0$ に1個,$\displaystyle t < 0$ に1個実数解をもつとき

端点条件:$f(0) < 0 \ \Longleftrightarrow \ y > 0$
軸条件:なし
判別式:不要(求めてもいいですが,端点条件に吸収されます)
以上より $y > 0$ が(ⅱ)の領域.
(ⅲ) $\displaystyle t=0$ に1個,$\displaystyle t < 0$ に1個実数解をもつとき
端点条件:$f(0)=0 \ \Longleftrightarrow \ y=0$
軸条件:$-\dfrac{x}{2} < 0 \ \Longleftrightarrow \ x > 0$
判別式:いらない(解が $0$ と $-x$ です.軸条件と同じです.)
以上より $x > 0 \ \cap \ y=0$ が(ⅲ)の領域.
(ⅰ)〜(ⅲ)の合計範囲より求める通過領域は

領域は上の黄色の部分.境界線を含む.
(3) 直線 $\rm OP$ の垂直2等分線は,${\rm P}(1,t)$ $(0\leqq t \leqq 1)$ とすると

(Ⅰ) $0 < t \leqq 1$ のとき
$\displaystyle y=-\frac{1}{t}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{t}{2}$
$\displaystyle =-\frac{1}{t}x+\frac{1}{2t}+\frac{t}{2}$
$\displaystyle =\frac{1}{2}t+\left(\frac{1}{2}-x\right)\frac{1}{t} \hspace{5mm} ( 0 < t \leqq 1 ) $
$\Longleftrightarrow \ t^{2}-2yt-2x+1=0$
これが $ 0 < t \leqq 1 $ に実数解を持つ条件を考える.
(左辺) $\displaystyle =f(t)=\left(t-y\right)^{2}-y^{2}-2x+1$
とおく.
(ⅰ) $\displaystyle 0 < t \leqq 1$ に2個(重解含む)実数解をもつとき

端点条件:$f(0) > 0 \ \cap \ f(1)\geqq0 \ \Longleftrightarrow \ x < \dfrac{1}{2} \ \cap \ y\leqq -x+1$
軸条件:$0 < y \leqq 1 $
判別式:$-y^{2}-2x+1\leqq0 \ \Longleftrightarrow \ y^{2}\geqq 2x-1$
これらの共通範囲が(ⅰ)の領域.
(ⅱ) $\displaystyle 0 < t \leqq 1$ に1個,それ以外の範囲に1個実数解をもつとき
端点条件:$f(0)f(1) \leqq 0$
$\Longleftrightarrow \ (-2x+1)(-x-y+1) \leqq 0$
$\Longleftrightarrow \ (2x-1)(x+y-1) \leqq 0$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} x\geqq \dfrac{1}{2} \\ y\leqq -x+1\end{cases}$ または $\begin{cases} x\leqq \dfrac{1}{2} \\ y\geqq -x+1\end{cases}$
(Ⅱ) $t=0$ のとき
$x=\dfrac{1}{2}$
これらをすべて,正方形内部ということを踏まえて図にすると

正方形内部での直線の通過領域は図の黄色の部分.境界線を含む.
練習問題
練習
$t$ は実数の定数とする.$xy$ 平面上に直線 $l:y-3(2t-1)x+2t^{2}-2t=0$ がある.
(1) $t$ がすべての実数をとるとき,この直線の通過領域を求め,図示せよ.
(2) $t$ が $0\leqq t\leqq 1$ の範囲をとるとき,この直線の通過領域を求め,図示せよ.
(通過領域の問題(1文字固定法)の練習問題と同一)
解答 出典:2018国際医療福祉大改
(1) $t$ の2次方程式とみると
$2t^{2}-(6x+2)t+y+3x=0 \ \cdots $ ①
ここで,①で $t$ の実数解が存在しなければいけないので
$\dfrac{D}{4}\geqq0$
$\Longleftrightarrow \ (3x+1)^{2}-2(y+3x)\geqq0$
$\therefore \ y\leqq\dfrac{9}{2}x^{2}+\dfrac{1}{2}$

領域は上の黄色の部分.境界線を含む.
(2) ①で $0\leqq t\leqq 1$ の範囲で実数解が存在しなければいけない.
①の左辺を $f(t)$ とおく.
(ⅰ) $\displaystyle 0 < t < 1$ に2個(重解含む)実数解をもつとき
端点条件:$f(0) > 0 \ \cap \ f(1) > 0 \ \Longleftrightarrow \ y> -3x \ \cap \ y > 3x$
軸条件:$0 < \dfrac{3x+1}{2} < 1 \ \Longleftrightarrow \ -\dfrac{1}{3} < x < \dfrac{1}{3} $
判別式:$y\leqq\dfrac{9}{2}x^{2}+\dfrac{1}{2}$
これらの共通範囲が(ⅰ)の領域.
(ⅱ) $t=0$ を解にもつとき $y=-3x$
(ⅲ) $t=1$ を解にもつとき $y=3x$
(ⅳ) $0 < t < 1 $ に実数解を1つ,他に1つ実数解をもつとき
$f(0)f(1) < 0$
$\Longleftrightarrow \ (y+3x)(y-3x) < 0$
$\Longleftrightarrow \ \begin{cases}y>-3x \\ y < 3x\end{cases}$ または $\begin{cases}y<-3x \\ y > 3x\end{cases}$
これら(ⅰ)〜(ⅳ)を図にすると

領域は上の黄色の部分.境界線を含む.