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通過領域の問題(解の配置問題で解く)

type:数学ⅡB既習者(難関大対策) level:★★★★★ 


アイキャッチ

難関大学で合否の分かれ目になりやすい,図形の通過領域の問題を扱います.

このページは解の配置問題で問題を解いていきます.

当ページは1箇所のみ(要数学Ⅲ)がありますが,数学ⅡBまでの範囲で理解ができます.



通過領域の問題の解き方

ポイント

通過領域の問題の解法まとめ

1文字固定法

$x$ を固定して,$y$ をもう一つの文字の関数とみて,$y$ の範囲を求める(微分や(相加平均)≧(相乗平均)などを使用).

※ 大学への数学ではファクシミリの原理と言われていますね.わかりやすいですが,正式な数学用語ではありません.


解の配置問題で解く (このページです!)

もう1つの文字の2次方程式として見ることができれば,2次方程式の解の配置問題で解くことができる.


どちらの方法でも解ける場合もあれば,片方のみでしか解けない場合もあります.今回はⅡの解の配置で解く方法を取り上げます.

例題と練習問題

例題

例題

(1) $t$ がすべての実数をとるとき,直線 $y=tx+t^{2}$ の通過領域を求め,図示せよ.

(2) $t$ が $t\geqq 0$ のすべての実数をとるとき,直線 $y=tx+t^{2}$ の通過領域を求め,図示せよ.

(3) (要数学Ⅲ) 座標平面上で,点$\rm O(0,0)$,$\rm A(0,1)$,$\rm B(1,0)$,$\rm C(1,1)$ を考える.点 $\rm P$ が点 $\rm B$ から点 $\rm C$ まで動くとき,正方形 $\rm AOBC$ の辺および内部において,線分 $\rm OP$ の垂直2等分線の通過領域を求めよ.

[2017早稲田教育改]


解説と解答

(1) $t$ の2次方程式とみると

$t^{2}+xt-y=0 \ \cdots $ ①

ここで,$t$ の実数解が存在しなければいけないはずです.$t$ の実数解に応じて直線が求まりますから.

しかし,どんな $(x,y)$ の組み合わせでも,$t$ が実数解を持てるかはわかりません.その関係式を求めるために,①で $t$ の実数解が存在しなければいけないので

$D\geqq0$

$\Longleftrightarrow x^{2}+4y\geqq0$

$\therefore \ y\geqq-\dfrac{x^2}{4}$

例題1

領域は上の黄色の部分.境界線を含む.


(2) $t$ の2次方程式とみると

$t^{2}+xt-y=0 \ \cdots $ ①

ここでは,$t$ の実数解が $t\geqq 0$ に存在しなければいけないはずです.つまり,これは解の配置問題です.

(左辺) $\displaystyle =f(t)=\left(t+\dfrac{x}{2}\right)^{2}-\dfrac{x^2}{4}-y$


(ⅰ) $\displaystyle t\geqq 0$ に2個(重解含む)実数解をもつとき

例題2の1

端点条件:$f(0)\geqq 0 \ \Longleftrightarrow \ y\leqq 0$

軸条件:$-\dfrac{x}{2}\geqq 0 \ \Longleftrightarrow \ x\leqq 0$

判別式:$D\geqq0 \ \Longleftrightarrow \ y\geqq-\dfrac{x^2}{4}$

これらの共通範囲 $x\leqq 0 \ \cap \ -\dfrac{x^2}{4} \leqq y \leqq 0$ が(ⅰ)の領域.


(ⅱ) $\displaystyle t > 0$ に1個,$\displaystyle t < 0$ に1個実数解をもつとき

例題2の2

端点条件:$f(0) < 0 \ \Longleftrightarrow \ y > 0$

軸条件:なし

判別式:不要(求めてもいいですが,端点条件に吸収されます)

以上より $y > 0$ が(ⅱ)の領域.


(ⅲ) $\displaystyle t=0$ に1個,$\displaystyle t < 0$ に1個実数解をもつとき

端点条件:$f(0)=0 \ \Longleftrightarrow \ y=0$

軸条件:$-\dfrac{x}{2} < 0 \ \Longleftrightarrow \ x > 0$

判別式:いらない(解が $0$ と $-x$ です.軸条件と同じです.)

以上より $x > 0 \ \cap \ y=0$ が(ⅲ)の領域.


(ⅰ)〜(ⅲ)の合計範囲より求める通過領域は

例題2の答え

領域は上の黄色の部分.境界線を含む.


(3) 直線 $\rm OP$ の垂直2等分線は,${\rm P}(1,t)$ $(0\leqq t \leqq 1)$ とすると

例題3

(Ⅰ) $0 < t \leqq 1$ のとき

 $\displaystyle y=-\frac{1}{t}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{t}{2}$

  $\displaystyle =-\frac{1}{t}x+\frac{1}{2t}+\frac{t}{2}$

  $\displaystyle =\frac{1}{2}t+\left(\frac{1}{2}-x\right)\frac{1}{t} \hspace{5mm} ( 0 < t \leqq 1 ) $

$\Longleftrightarrow \ t^{2}-2yt-2x+1=0$

これが $ 0 < t \leqq 1 $ に実数解を持つ条件を考える.

(左辺) $\displaystyle =f(t)=\left(t-y\right)^{2}-y^{2}-2x+1$

とおく.


(ⅰ) $\displaystyle 0 < t \leqq 1$ に2個(重解含む)実数解をもつとき

例題3の1

端点条件:$f(0) > 0 \ \cap \ f(1)\geqq0 \ \Longleftrightarrow \ x < \dfrac{1}{2} \ \cap \ y\leqq -x+1$

軸条件:$0 < y \leqq 1 $

判別式:$-y^{2}-2x+1\leqq0 \ \Longleftrightarrow \ y^{2}\geqq 2x-1$

これらの共通範囲が(ⅰ)の領域.


(ⅱ) $\displaystyle 0 < t \leqq 1$ に1個,それ以外の範囲に1個実数解をもつとき

端点条件:$f(0)f(1) \leqq 0$

$\Longleftrightarrow \ (-2x+1)(-x-y+1) \leqq 0$

$\Longleftrightarrow \ (2x-1)(x+y-1) \leqq 0$

$\Longleftrightarrow \begin{cases} x\geqq \dfrac{1}{2} \\ y\leqq -x+1\end{cases}$ または $\begin{cases} x\leqq \dfrac{1}{2} \\ y\geqq -x+1\end{cases}$


(Ⅱ) $t=0$ のとき

$x=\dfrac{1}{2}$


これらをすべて,正方形内部ということを踏まえて図にすると

例題3の2

正方形内部での直線の通過領域は図の黄色の部分.境界線を含む.

練習問題

練習

$t$ は実数の定数とする.$xy$ 平面上に直線 $l:y-3(2t-1)x+2t^{2}-2t=0$ がある.

(1) $t$ がすべての実数をとるとき,この直線の通過領域を求め,図示せよ.

(2) $t$ が $0\leqq t\leqq 1$ の範囲をとるとき,この直線の通過領域を求め,図示せよ.

解答 出典:2018国際医療福祉大改

(1) $t$ の2次方程式とみると

$2t^{2}-(6x+2)t+y+3x=0 \ \cdots $ ①

ここで,①で $t$ の実数解が存在しなければいけないので

$\dfrac{D}{4}\geqq0$

$\Longleftrightarrow \ (3x+1)^{2}-2(y+3x)\geqq0$

$\therefore \ y\leqq\dfrac{9}{2}x^{2}+\dfrac{1}{2}$

練習1

領域は上の黄色の部分.境界線を含む.


(2) ①で $0\leqq t\leqq 1$ の範囲で実数解が存在しなければいけない.

①の左辺を $f(t)$ とおく.

(ⅰ) $\displaystyle 0 < t < 1$ に2個(重解含む)実数解をもつとき

端点条件:$f(0) > 0 \ \cap \ f(1) > 0 \ \Longleftrightarrow \ y> -3x \ \cap \ y > 3x$

軸条件:$0 < \dfrac{3x+1}{2} < 1 \ \Longleftrightarrow \ -\dfrac{1}{3} < x < \dfrac{1}{3} $

判別式:$y\leqq\dfrac{9}{2}x^{2}+\dfrac{1}{2}$

これらの共通範囲が(ⅰ)の領域.


(ⅱ) $t=0$ を解にもつとき $y=-3x$


(ⅲ) $t=1$ を解にもつとき $y=3x$


(ⅳ) $0 < t < 1 $ に実数解を1つ,他に1つ実数解をもつとき

$f(0)f(1) < 0$

$\Longleftrightarrow \ (y+3x)(y-3x) < 0$

$\Longleftrightarrow \ y>-3x \ \cap \ y < 3x$


これら(ⅰ)〜(ⅳ)を図にすると

練習2

領域は上の黄色の部分.境界線を含む.