解説と解答

(1) $t$ の2次方程式とみると

$t^{2}+xt-y=0 \ \cdots $ ①

ここで，$t$ の実数解が存在しなければいけないはずです．$t$ の実数解に応じて直線が求まりますから．

しかし，どんな $(x,y)$ の組み合わせでも，$t$ が実数解を持てるかはわかりません．その関係式を求めるために，①で $t$ の実数解が存在しなければいけないので

領域は上の黄色の部分．境界線を含む．

(2) $t$ の2次方程式とみると

$t^{2}+xt-y=0 \ \cdots $ ①

ここでは，$t$ の実数解が $t\geqq 0$ に存在しなければいけないはずです．つまり，これは解の配置問題です．

(左辺) $\displaystyle =f(t)=\left(t+\dfrac{x}{2}\right)^{2}-\dfrac{x^2}{4}-y$

(ⅰ) $\displaystyle t\geqq 0$ に2個(重解含む)実数解をもつとき

端点条件：$f(0)\geqq 0 \ \Longleftrightarrow \ y\leqq 0$

軸条件：$-\dfrac{x}{2}\geqq 0 \ \Longleftrightarrow \ x\leqq 0$

判別式：$D\geqq0 \ \Longleftrightarrow \ y\geqq-\dfrac{x^2}{4}$

これらの共通範囲 $x\leqq 0 \ \cap \ -\dfrac{x^2}{4} \leqq y \leqq 0$ が(ⅰ)の領域．

(ⅱ) $\displaystyle t > 0$ に1個，$\displaystyle t < 0$ に1個実数解をもつとき

端点条件：$f(0) < 0 \ \Longleftrightarrow \ y > 0$

軸条件：なし

判別式：不要(求めてもいいですが，端点条件に吸収されます)

以上より $y > 0$ が(ⅱ)の領域．

(ⅲ) $\displaystyle t=0$ に1個，$\displaystyle t < 0$ に1個実数解をもつとき

端点条件：$f(0)=0 \ \Longleftrightarrow \ y=0$

軸条件：$-\dfrac{x}{2} < 0 \ \Longleftrightarrow \ x > 0$

判別式：いらない(解が $0$ と $-x$ です．軸条件と同じです．)

以上より $x > 0 \ \cap \ y=0$ が(ⅲ)の領域．

(ⅰ)〜(ⅲ)の合計範囲より求める通過領域は

領域は上の黄色の部分．境界線を含む．

(3) 直線 $\rm OP$ の垂直2等分線は，${\rm P}(1,t)$ $(0\leqq t \leqq 1)$ とすると

(Ⅰ) $0 < t \leqq 1$ のとき

　$\displaystyle y=-\frac{1}{t}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{t}{2}$

　　$\displaystyle =-\frac{1}{t}x+\frac{1}{2t}+\frac{t}{2}$

　　$\displaystyle =\frac{1}{2}t+\left(\frac{1}{2}-x\right)\frac{1}{t} \hspace{5mm} ( 0 < t \leqq 1 )　$

$\Longleftrightarrow \ t^{2}-2yt-2x+1=0$

これが $ 0 < t \leqq 1 $ に実数解を持つ条件を考える．

(左辺) $\displaystyle =f(t)=\left(t-y\right)^{2}-y^{2}-2x+1$

とおく．

(ⅰ) $\displaystyle 0 < t \leqq 1$ に2個(重解含む)実数解をもつとき

端点条件：$f(0) > 0 \ \cap \ f(1)\geqq0 \ \Longleftrightarrow \ x < \dfrac{1}{2} \ \cap \ y\leqq -x+1$

軸条件：$0 < y \leqq 1 $

判別式：$-y^{2}-2x+1\leqq0 \ \Longleftrightarrow \ y^{2}\geqq 2x-1$

これらの共通範囲が(ⅰ)の領域．

(ⅱ) $\displaystyle 0 < t \leqq 1$ に1個，それ以外の範囲に1個実数解をもつとき

(Ⅱ) $t=0$ のとき

$x=\dfrac{1}{2}$

これらをすべて，正方形内部ということを踏まえて図にすると

正方形内部での直線の通過領域は図の黄色の部分．境界線を含む．